Страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Как называются номера в обозначениях $x_5$, $y_2$ и т. п.?

1

Номера, которые записываются внизу справа от основной переменной, как в обозначениях $x_5$, $y_2$ и им подобных, называются индексами. Более точное название — нижние индексы (в отличие от верхних индексов, которые используются, например, для обозначения степени: $x^2$).

Индексы служат для того, чтобы различать однотипные переменные или элементы, принадлежащие к одному множеству. Например:

• В координатной геометрии, чтобы обозначить координаты разных точек, например, точка $A$ с координатами $(x_1, y_1)$ и точка $B$ с координатами $(x_2, y_2)$.
• В последовательностях для нумерации ее членов: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$. Здесь индекс указывает порядковый номер элемента в последовательности.
• В физике для обозначения различных состояний или объектов: $v_1$ — начальная скорость, $v_2$ — конечная скорость.

Таким образом, в выражении $x_5$ буква $x$ — это имя переменной, а число $5$ — это ее индекс, который отличает эту конкретную переменную от других переменных с тем же именем, например, от $x_1$ или $x_2$.

Ответ: индексы (или нижние индексы).

2 Как обозначается среднее арифметическое, наименьшее и наибольшее значения?

В математике и статистике для обозначения среднего арифметического, наименьшего и наибольшего значений используются стандартные символы и сокращения.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество. Обозначения могут варьироваться в зависимости от контекста.

• Для выборочного среднего (среднего значения набора данных из некоторой совокупности) чаще всего используется символ $\bar{x}$ (читается «икс с чертой»). Если переменная обозначается другой буквой, например $y$, то её среднее будет $\bar{y}$.
  Формула для набора значений $x_1, x_2, \dots, x_n$: $ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i $
• Для среднего значения генеральной совокупности (теоретического среднего всех возможных значений) в статистике используется греческая буква $\mu$ (мю).
• В теории вероятностей среднее значение случайной величины $X$ называется математическим ожиданием и обозначается как $E(X)$ или $M(X)$.
• В некоторых учебных материалах или упрощенных записях могут встречаться обозначения вроде $x_{ср}$ или $a_{ср}$.

Ответ: Наиболее распространенные обозначения: $\bar{x}$ (для выборки), $\mu$ (для генеральной совокупности), $E(X)$ (математическое ожидание).

Наименьшее значение

Наименьшее значение (минимум) — это самое маленькое число в рассматриваемом наборе данных. Для его обозначения используется оператор (функция) $\min$.

• Обычно обозначается как $\min(x_1, x_2, \dots, x_n)$ или $\min(S)$, где $S$ — это множество значений.
• Также может использоваться обозначение $x_{min}$ для указания на минимальное значение в выборке $x$.

Например, для набора чисел {5, 2, 9, 1} наименьшее значение равно $\min(5, 2, 9, 1) = 1$.

Ответ: Обозначается как $\min$ или $x_{min}$.

Наибольшее значение

Наибольшее значение (максимум) — это самое большое число в наборе данных. Для его обозначения используется оператор (функция) $\max$.

• Обычно обозначается как $\max(x_1, x_2, \dots, x_n)$ или $\max(S)$, где $S$ — это множество значений.
• Также может использоваться обозначение $x_{max}$ для указания на максимальное значение в выборке $x$.

Например, для набора чисел {5, 2, 9, 1} наибольшее значение равно $\max(5, 2, 9, 1) = 9$.

Ответ: Обозначается как $\max$ или $x_{max}$.

3 Сформулируйте свойство 1 среднего арифметического.

Первое и одно из ключевых свойств среднего арифметического заключается в том, что сумма отклонений всех значений в наборе данных от их среднего арифметического всегда равна нулю. Это свойство показывает, что среднее арифметическое является «центром тяжести» или точкой равновесия для данного набора чисел. Положительные отклонения (когда число больше среднего) в точности компенсируются отрицательными отклонениями (когда число меньше среднего).

В математической форме это свойство записывается так:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$
где $x_i$ — это $i$-й элемент набора данных, $n$ — общее количество элементов, а $\bar{x}$ — их среднее арифметическое.

Доказательство этого свойства:
1. По определению, среднее арифметическое $\bar{x}$ вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.
2. Из этой формулы можно выразить сумму всех элементов: $\sum_{i=1}^{n} x_i = n \cdot \bar{x}$.
3. Рассмотрим сумму отклонений от среднего: $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})$.
4. Раскроем скобки в сумме: $\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$.
5. Сумма константы $\bar{x}$, повторенной $n$ раз, равна $n \cdot \bar{x}$. Таким образом, выражение принимает вид: $\sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \bar{x}$.
6. Подставив значение суммы из пункта 2, получаем: $n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0$.
Свойство доказано.

Проиллюстрируем на примере:
Пусть дан набор чисел: 2, 7, 9.
- Найдем их среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{2 + 7 + 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$.
- Вычислим отклонения каждого числа от среднего:
$2 - 6 = -4$
$7 - 6 = 1$
$9 - 6 = 3$
- Найдем сумму этих отклонений: $(-4) + 1 + 3 = 0$.
Сумма отклонений действительно равна нулю.

Ответ: Сумма отклонений значений от их среднего арифметического равна нулю.

4 Сформулируйте свойство 2 среднего арифметического.

Свойство 2 среднего арифметического гласит, что если все значения исходной совокупности данных увеличить или уменьшить на одно и то же число A, то среднее арифметическое этой совокупности соответственно увеличится или уменьшится на то же самое число A.

Для доказательства этого свойства рассмотрим совокупность чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Ее среднее арифметическое, обозначаемое как $\bar{x}$, вычисляется по формуле: $$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$ Теперь создадим новую совокупность чисел $y_1, y_2, \ldots, y_n$, где каждый элемент получен путем прибавления константы $A$ к соответствующему элементу исходной совокупности: $y_i = x_i + A$. Найдем среднее арифметическое $\bar{y}$ для новой совокупности: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i + A)}{n} $$ Используя свойство суммы, можно переписать выражение в числителе: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} A}{n} $$ Сумма константы $A$, повторенной $n$ раз, равна $n \cdot A$. Подставим это в формулу: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i + nA}{n} $$ Разделив почленно числитель на знаменатель, получим: $$ \bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} + \frac{nA}{n} = \bar{x} + A $$ Таким образом, свойство доказано.

Проиллюстрируем это свойство на примере. Пусть дан набор чисел: 2, 5, 8. Найдем его среднее арифметическое $\bar{x}$: $$ \bar{x} = \frac{2 + 5 + 8}{3} = \frac{15}{3} = 5 $$ Теперь увеличим каждое число на 4. Получим новый набор чисел: $2+4=6$, $5+4=9$, $8+4=12$. Найдем среднее арифметическое $\bar{y}$ для нового набора: $$ \bar{y} = \frac{6 + 9 + 12}{3} = \frac{27}{3} = 9 $$ С другой стороны, согласно свойству, новое среднее арифметическое можно было найти, прибавив 4 к старому среднему: $\bar{y} = \bar{x} + 4 = 5 + 4 = 9$. Результаты совпадают, что подтверждает верность свойства.

Ответ: Если все значения в наборе данных изменить (увеличить или уменьшить) на одну и ту же величину, то их среднее арифметическое изменится (увеличится или уменьшится) на ту же самую величину.