Страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Как в дереве случайного опыта изображаются элементарные события?

1 В дереве случайного опыта, которое служит для графического представления всех возможных исходов эксперимента, состоящего из нескольких этапов, элементарные события изображаются в виде полных путей. Дерево строится следующим образом: из начальной точки (корня) проводятся ветви, соответствующие всем возможным исходам первого этапа эксперимента. Из конца каждой такой ветви проводятся новые ветви, соответствующие всем исходам второго этапа, и так далее.

Элементарное событие (или исход) всего многоэтапного эксперимента — это одна конкретная последовательность исходов на всех его этапах. В графическом представлении дерева этому соответствует один полный путь от корня дерева до одной из его конечных вершин (листьев). Каждая такая уникальная цепочка ветвей от начала до конца представляет одно элементарное событие. Таким образом, количество всех элементарных событий равно количеству конечных вершин (листьев) дерева.

Например, если монету подбрасывают дважды, то дерево будет иметь корень, от которого отходят две ветви: «Орёл» (О) и «Решка» (Р). От конца каждой из этих ветвей также отходят по две ветви «О» и «Р». В результате образуется 4 полных пути: О→О, О→Р, Р→О, Р→Р. Каждый из этих четырёх путей и является изображением одного элементарного события данного опыта.

Ответ: Элементарные события изображаются в виде полных путей (маршрутов) от корня дерева до его конечных вершин (листьев).

2 Чему равна сумма вероятностей около рёбер, выходящих из одной вершины?

Рассмотрим произвольную вершину графа, которую обозначим как $v$. Пусть из этой вершины выходит $k$ рёбер, которые представляют собой все возможные пути для перехода из вершины $v$ в смежные с ней вершины.

В задачах, связанных с вероятностными процессами на графах (например, в модели случайных блужданий), выбор одного из рёбер для перехода из текущей вершины является случайным событием. Поскольку переход из вершины $v$ должен обязательно произойти по одному из этих $k$ рёбер, то совокупность этих событий (переход по ребру 1, переход по ребру 2, ..., переход по ребру $k$) образует полную группу несовместных событий.

Согласно фундаментальной аксиоме теории вероятностей, сумма вероятностей событий, образующих полную группу, всегда равна единице.

Если обозначить вероятности выбора каждого из $k$ рёбер, выходящих из вершины $v$, как $p_1, p_2, \dots, p_k$, то их сумма будет равна 1: $$ \sum_{i=1}^{k} p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_k = 1 $$

Например, для простого случайного блуждания по невзвешенному графу, вероятность перехода по любому из $k$ рёбер, выходящих из вершины $v$, одинакова и составляет $1/k$. Сумма этих вероятностей будет: $$ \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{k} = \underbrace{\frac{1}{k} + \frac{1}{k} + \dots + \frac{1}{k}}_{k \text{ раз}} = k \cdot \frac{1}{k} = 1 $$

Этот же принцип верен и для взвешенных графов, где вероятность перехода по ребру обычно пропорциональна его весу. Сумма вероятностей всех возможных переходов из одной вершины всегда нормируется так, чтобы она была равна единице.

Таким образом, сумма вероятностей всех переходов по рёбрам, выходящим из одной и той же вершины, всегда равна 1.

Ответ: 1.

3 Сформулируйте правило вычисления вероятности элементарного события в дереве.

Дерево вероятностей (или стохастическое дерево) — это графический способ представления последовательных случайных экспериментов и их исходов. Каждый уникальный путь от корня дерева до одной из его конечных вершин (листьев) соответствует одному элементарному событию (исходу) сложного эксперимента.

Правило вычисления вероятности элементарного события в таком дереве основано на теореме умножения вероятностей. Чтобы найти вероятность конкретного элементарного события, необходимо:

1. Найти в дереве единственный путь от корня до конечной вершины, который соответствует рассматриваемому элементарному событию.

2. Перемножить значения вероятностей, написанные на каждой ветви, составляющей этот путь.

Таким образом, если путь, соответствующий элементарному событию, состоит из $k$ ветвей, и на этих ветвях указаны вероятности $p_1, p_2, \dots, p_k$, то вероятность $P$ этого элементарного события вычисляется по формуле:

$P = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$

Следует отметить, что вероятность на каждой ветви (кроме тех, что выходят из корня) является условной вероятностью — то есть вероятностью наступления события данного этапа при условии, что все предыдущие события на этом пути уже произошли.

Ответ: Вероятность элементарного события в дереве вероятностей равна произведению вероятностей, указанных на всех ветвях пути, который ведет от корня дерева к исходу, соответствующему данному элементарному событию.

4 Сформулируйте правило сложения для вычисления вероятностей событий с помощью дерева.

Дерево вероятностей (или дерево событий) — это графический способ представления последовательности случайных событий и их исходов. Каждая ветвь дерева представляет один из возможных исходов, а рядом с ней указывается её вероятность. Полный путь от начала («корня») дерева до конца одной из ветвей представляет собой один из элементарных исходов всего эксперимента.

При работе с деревом вероятностей используются два основных правила:

• Правило умножения: Чтобы найти вероятность наступления конкретной последовательности событий (то есть, вероятность прохождения по одному определённому пути на дереве), необходимо перемножить вероятности на всех ветвях этого пути.
• Правило сложения: Используется, когда интересующее нас событие может быть достигнуто несколькими различными путями (состоит из нескольких элементарных исходов).

Правило сложения для вычисления вероятностей с помощью дерева формулируется следующим образом:

Если событие $A$ может произойти в результате нескольких взаимоисключающих исходов (на дереве им соответствуют разные конечные ветви), то вероятность этого события $A$ равна сумме вероятностей этих исходов.

Алгоритм действий:

1. Определить все конечные исходы (все пути от корня до листа дерева), которые приводят к наступлению интересующего нас события.
2. Для каждого из этих путей вычислить его вероятность, используя правило умножения (перемножая вероятности на всех его ветвях).
3. Сложить вероятности, полученные на втором шаге. Результат этой суммы и будет вероятностью искомого события.

Например, если событию $A$ соответствуют два взаимоисключающих исхода $O_1$ и $O_2$, то вероятность события $A$ вычисляется как $P(A) = P(O_1) + P(O_2)$.

Ответ: Вероятность события, которому на дереве вероятностей соответствует несколько различных конечных исходов, равна сумме вероятностей этих исходов. Вероятность каждого такого исхода предварительно вычисляется по правилу умножения — как произведение вероятностей на всех ветвях пути, ведущего к этому исходу.