Номер 103, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

103 При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9.

Найдите условную вероятность события:

а) «в первый раз выпадет 5 очков»;

б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»;

в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»;

г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка».

Для решения задачи найдем сначала все возможные исходы при двукратном бросании игральной кости, при которых сумма выпавших очков равна 9. Пусть $(x, y)$ — пара чисел, выпавших на первой и второй кости соответственно, где $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Нам нужно найти все пары $(x, y)$ такие, что $x + y = 9$.

Возможные комбинации:

• Если на первой кости выпало 3, то на второй должно выпасть 6: $(3, 6)$.
• Если на первой кости выпало 4, то на второй должно выпасть 5: $(4, 5)$.
• Если на первой кости выпало 5, то на второй должно выпасть 4: $(5, 4)$.
• Если на первой кости выпало 6, то на второй должно выпасть 3: $(6, 3)$.

Таким образом, существует всего 4 равновероятных исхода, удовлетворяющих условию, что сумма очков равна 9. Это наше новое, сокращенное пространство элементарных исходов: $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$. Общее число исходов $N=4$. Теперь найдем вероятность для каждого из указанных событий.

а) «в первый раз выпадет 5 очков»
Среди четырех возможных исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых на первой кости выпало 5 очков. Этому условию удовлетворяет только один исход: $(5, 4)$.
Число благоприятных исходов $k = 1$.
Условная вероятность этого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов в сокращенном пространстве:
$P = \frac{k}{N} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»
Среди исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых хотя бы раз выпало 4 очка. Этому условию удовлетворяют два исхода: $(4, 5)$ и $(5, 4)$.
Число благоприятных исходов $k = 2$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{k}{N} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»
Среди исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых число очков на первой кости меньше, чем на второй ($x < y$).
- $(3, 6)$: $3 < 6$ (условие выполняется).- $(4, 5)$: $4 < 5$ (условие выполняется).- $(5, 4)$: $5 > 4$ (условие не выполняется).- $(6, 3)$: $6 > 3$ (условие не выполняется).Этому условию удовлетворяют два исхода. Число благоприятных исходов $k = 2$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{k}{N} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка»
Среди исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых число очков на второй кости меньше 3 (то есть 1 или 2).
- В исходе $(3, 6)$ на второй кости 6 очков.- В исходе $(4, 5)$ на второй кости 5 очков.- В исходе $(5, 4)$ на второй кости 4 очка.- В исходе $(6, 3)$ на второй кости 3 очка.Ни один из исходов не удовлетворяет условию. Число благоприятных исходов $k = 0$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{k}{N} = \frac{0}{4} = 0$.
Ответ: $0$.