Номер 108, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

108 На кассе в магазине продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зелёных леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди покупают по одному леденцу. Кассир не глядя достаёт леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что:

а) Таня и Ваня получат зелёные, а Маня — красный леденец;

б) Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный;

в) Таня получит зелёный леденец, Ваня — красный, а Маня — синий;

г) все трое получат красные леденцы.

Для решения задачи сначала определим общее количество леденцов в коробке. В коробке находится 10 красных, 9 синих и 6 зелёных леденцов.

Общее количество леденцов: $10 + 9 + 6 = 25$.

Таня, Ваня и Маня берут леденцы по очереди. Это зависимые события, так как каждый взятый леденец уменьшает общее количество леденцов и количество леденцов определённого цвета для следующего выбора.

а) Таня и Ваня получат зелёные, а Маня — красный леденец

Рассчитаем вероятность для каждого события последовательно:

1. Вероятность того, что Таня (первая) получит зелёный леденец. В коробке 6 зелёных леденцов из 25.

$P_1 = \frac{6}{25}$

2. После того как Таня взяла зелёный леденец, в коробке осталось 24 леденца, из них 5 зелёных. Вероятность того, что Ваня (второй) также получит зелёный леденец:

$P_2 = \frac{5}{24}$

3. После того как Таня и Ваня взяли по зелёному леденцу, в коробке осталось 23 леденца, из них все 10 красные. Вероятность того, что Маня (третья) получит красный леденец:

$P_3 = \frac{10}{23}$

Итоговая вероятность равна произведению вероятностей этих трёх событий:

$P_a = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{6}{25} \times \frac{5}{24} \times \frac{10}{23} = \frac{300}{13800} = \frac{1}{46}$

Ответ: $\frac{1}{46}$

б) Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный

Порядок выбора детей фиксирован: Таня, затем Ваня, затем Маня. Следовательно, последовательность цветов леденцов: синий, красный, синий.

1. Вероятность, что Таня (первая) получит синий леденец (9 синих из 25):

$P_1 = \frac{9}{25}$

2. В коробке осталось 24 леденца. Вероятность, что Ваня (второй) получит красный леденец (10 красных из 24):

$P_2 = \frac{10}{24}$

3. В коробке осталось 23 леденца. Так как Таня взяла синий, их осталось 8. Вероятность, что Маня (третья) получит синий леденец:

$P_3 = \frac{8}{23}$

Итоговая вероятность:

$P_б = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{9}{25} \times \frac{10}{24} \times \frac{8}{23} = \frac{720}{13800} = \frac{6}{115}$

Ответ: $\frac{6}{115}$

в) Таня получит зелёный леденец, Ваня — красный, а Маня — синий

Последовательность цветов: зелёный, красный, синий.

1. Вероятность, что Таня (первая) получит зелёный леденец (6 зелёных из 25):

$P_1 = \frac{6}{25}$

2. В коробке осталось 24 леденца. Вероятность, что Ваня (второй) получит красный леденец (10 красных из 24):

$P_2 = \frac{10}{24}$

3. В коробке осталось 23 леденца. Вероятность, что Маня (третья) получит синий леденец (9 синих из 23):

$P_3 = \frac{9}{23}$

Итоговая вероятность:

$P_в = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{6}{25} \times \frac{10}{24} \times \frac{9}{23} = \frac{540}{13800} = \frac{9}{230}$

Ответ: $\frac{9}{230}$

г) все трое получат красные леденцы

Последовательность цветов: красный, красный, красный.

1. Вероятность, что Таня (первая) получит красный леденец (10 красных из 25):

$P_1 = \frac{10}{25}$

2. В коробке осталось 24 леденца, из них 9 красных. Вероятность, что Ваня (второй) получит красный леденец:

$P_2 = \frac{9}{24}$

3. В коробке осталось 23 леденца, из них 8 красных. Вероятность, что Маня (третья) получит красный леденец:

$P_3 = \frac{8}{23}$

Итоговая вероятность:

$P_г = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{10}{25} \times \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} = \frac{720}{13800} = \frac{6}{115}$

Ответ: $\frac{6}{115}$