Номер 110, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

110 В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка:

а) наверняка (с вероятностью 1);

б) с вероятностью не меньше чем 0,95?

В ящике находятся 20 левых и 20 правых перчаток, всего 40 перчаток.

а) наверняка (с вероятностью 1)

Чтобы гарантированно (с вероятностью 1) достать хотя бы одну левую и одну правую перчатку, нужно рассмотреть наихудший возможный сценарий. Этот принцип также известен как принцип Дирихле.

Наихудший случай — это когда мы последовательно вынимаем перчатки только одного вида. В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Допустим, нам не везет, и мы вынимаем только левые перчатки. Мы можем вынуть 20 левых перчаток подряд.

После того как мы вынули 20 перчаток, и все они оказались одного вида (например, левые), в ящике остались только перчатки другого вида (правые). Следовательно, следующая, 21-я перчатка, которую мы вынем, обязательно будет правой.

Таким образом, вынув $20 + 1 = 21$ перчатку, мы гарантированно будем иметь как минимум одну правую и как минимум 20 левых (или наоборот). В любом случае, у нас будет хотя бы одна левая и одна правая перчатка.

Ответ: 21 перчатка.

б) с вероятностью не меньше чем 0,95

Пусть $k$ — количество перчаток, которые мы вынимаем. Общее число перчаток в ящике $N = 40$ (20 левых и 20 правых).

Событие $A$ — «среди $k$ вынутых перчаток есть хотя бы одна левая и хотя бы одна правая».

Проще вычислить вероятность противоположного события $\bar{A}$. Противоположное событие $\bar{A}$ — «все $k$ вынутых перчаток одного вида» (то есть все левые или все правые).

Вероятность события $A$ связана с вероятностью $\bar{A}$ формулой: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Мы ищем наименьшее $k$, для которого $P(A) \geq 0,95$, что эквивалентно $1 - P(\bar{A}) \geq 0,95$ или $P(\bar{A}) \leq 0,05$.

Вероятность события $\bar{A}$ равна сумме вероятностей двух несовместных событий: «все $k$ перчаток левые» и «все $k$ перчаток правые».

$P(\bar{A}) = P(\text{все левые}) + P(\text{все правые})$

Общее число способов вынуть $k$ перчаток из 40 равно числу сочетаний $C_{40}^k = \binom{40}{k}$.

Число способов вынуть $k$ левых перчаток из 20 равно $C_{20}^k = \binom{20}{k}$.

Число способов вынуть $k$ правых перчаток из 20 также равно $C_{20}^k = \binom{20}{k}$.

Тогда вероятность вынуть все левые перчатки: $P(\text{все левые}) = \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k}$.

Вероятность вынуть все правые перчатки: $P(\text{все правые}) = \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k}$.

Следовательно, $P(\bar{A}) = \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k} + \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k} = 2 \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k}$.

Нам нужно найти наименьшее целое $k$, при котором выполняется неравенство:

$2 \frac{\binom{20}{k}}{\binom{40}{k}} \leq 0,05$

Проверим значения для $k$, начиная с малых чисел.

При $k=4$:
$P(\bar{A}) = 2 \frac{\binom{20}{4}}{\binom{40}{4}} = 2 \cdot \frac{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 2 \cdot \frac{4845}{91390} = \frac{9690}{91390} \approx 0,106$
$0,106 > 0,05$, значит, 4 перчаток недостаточно.

При $k=5$:
$P(\bar{A}) = 2 \frac{\binom{20}{5}}{\binom{40}{5}} = 2 \cdot \frac{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 2 \cdot \frac{15504}{658008} = \frac{31008}{658008} \approx 0,0471$
$0,0471 \leq 0,05$, это условие выполняется.

Таким образом, наименьшее количество перчаток, которое нужно достать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 получить хотя бы одну левую и одну правую, равно 5.
Вероятность успеха при $k=5$ составляет $P(A) = 1 - P(\bar{A}) \approx 1 - 0,0471 = 0,9529$, что больше 0,95.

Ответ: 5 перчаток.