Номер 20, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

20 Предложите какой-нибудь способ составления сметы по таблице 9 так, чтобы были куплены волейбольные и футбольные мячи, ракетки, воланы и сетки и чтобы общая сумма покупки была ровно 50 000 р.

Поскольку в условии задачи не приведена таблица 9 с ценами, для составления сметы необходимо задать правдоподобные цены на указанный спортивный инвентарь. Предположим следующие цены:

• Волейбольный мяч: 2 000 р.

• Футбольный мяч: 2 500 р.

• Ракетка: 1 200 р.

• Волан: 100 р.

• Сетка: 3 000 р.

Цель — купить хотя бы по одному предмету каждого наименования так, чтобы общая сумма покупки составила ровно 50 000 р. Обозначим количество волейбольных мячей как $v$, футбольных мячей как $f$, ракеток как $r$, воланов как $s$ и сеток как $n$. Все эти переменные должны быть целыми числами не меньше 1.

Составим математическое уравнение на основе этих данных:

$2000 \cdot v + 2500 \cdot f + 1200 \cdot r + 100 \cdot s + 3000 \cdot n = 50000$

Это линейное диофантово уравнение с пятью переменными, которое может иметь несколько решений. Найдём одно из них методом подбора.

Для упрощения вычислений можно разделить всё уравнение на 100:

$20v + 25f + 12r + s + 30n = 500$

Начнём подбор с наиболее дорогих товаров. Например, приобретем 2 сетки и 10 ракеток (чтобы было 5 пар для игры в бадминтон).

1. Сетки ($n$): Купим 2 штуки.
Стоимость: $2 \cdot 3000 = 6000$ р.

2. Ракетки ($r$): Купим 10 штук.
Стоимость: $10 \cdot 1200 = 12000$ р.

3. Воланы ($s$): К 10 ракеткам логично купить достаточное количество воланов, например, 20 штук.
Стоимость: $20 \cdot 100 = 2000$ р.

Сумма за эти товары: $6000 + 12000 + 2000 = 20000$ р.

Оставшаяся сумма, которую нужно потратить на мячи: $50000 - 20000 = 30000$ р.

Теперь подберем количество волейбольных и футбольных мячей на оставшиеся 30 000 р. Уравнение для них:

$2000v + 2500f = 30000$

Разделим на 500: $4v + 5f = 60$.

Найдём целые положительные решения. Видно, что $4v$ должно быть кратно 4, а $60$ также кратно 4. Следовательно, $5f$ должно быть кратно 4. Так как 5 и 4 взаимно простые, $f$ должно быть кратно 4. Пусть $f = 4$.

Подставим $f = 4$ в уравнение: $4v + 5 \cdot 4 = 60 \Rightarrow 4v + 20 = 60 \Rightarrow 4v = 40 \Rightarrow v = 10$.

Таким образом, мы получили следующий набор товаров:

• Волейбольные мячи ($v$): 10 штук.

• Футбольные мячи ($f$): 4 штуки.

• Ракетки ($r$): 10 штук.

• Воланы ($s$): 20 штук.

• Сетки ($n$): 2 штуки.

Проверим итоговую сумму:

$10 \cdot 2000 + 4 \cdot 2500 + 10 \cdot 1200 + 20 \cdot 100 + 2 \cdot 3000 = 20000 + 10000 + 12000 + 2000 + 6000 = 50000$ р.

Все условия задачи выполнены: куплены все виды товаров, и общая сумма покупки равна ровно 50 000 р.

Ответ: Один из возможных способов составить смету — это закупить 10 волейбольных мячей, 4 футбольных мяча, 10 ракеток, 20 воланов и 2 сетки. При ценах, указанных в решении, общая стоимость покупки составит $10 \cdot 2000 + 4 \cdot 2500 + 10 \cdot 1200 + 20 \cdot 100 + 2 \cdot 3000 = 50000$ рублей.