Страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

251 Задайте с помощью таблицы распределение вероятностей случайной величины $X$, равной числу орлов, выпавших при:

a) одном;

б) двух;

в) трёх бросаниях монеты.

а) При одном бросании монеты существует $2^1 = 2$ равновероятных исхода: выпадение орла (О) или решки (Р). Случайная величина $X$ — число выпавших орлов. Возможные значения для $X$: 0 (если выпала решка) и 1 (если выпал орёл).

Вероятность того, что орлов не выпадет, $P(X=0) = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что выпадет один орёл, $P(X=1) = \frac{1}{2}$.

Ответ:

б) При двух бросаниях монеты существует $2^2 = 4$ равновероятных исхода: РР, РО, ОР, ОО. Случайная величина $X$ — число выпавших орлов. Возможные значения для $X$: 0, 1, 2.

Найдём вероятности для каждого значения:

• $X=0$ (нет орлов): один благоприятствующий исход (РР). Вероятность: $P(X=0) = \frac{1}{4}$.
• $X=1$ (один орёл): два благоприятствующих исхода (РО, ОР). Вероятность: $P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• $X=2$ (два орла): один благоприятствующий исход (ОО). Вероятность: $P(X=2) = \frac{1}{4}$.

Проверка: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$.

Ответ:

в) При трёх бросаниях монеты существует $2^3 = 8$ равновероятных исходов: РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО. Случайная величина $X$ — число выпавших орлов. Возможные значения для $X$: 0, 1, 2, 3.

Найдём вероятности для каждого значения:

• $X=0$ (нет орлов): один благоприятствующий исход (РРР). Вероятность: $P(X=0) = \frac{1}{8}$.
• $X=1$ (один орёл): три благоприятствующих исхода (РРО, РОР, ОРР). Вероятность: $P(X=1) = \frac{3}{8}$.
• $X=2$ (два орла): три благоприятствующих исхода (РОО, ОРО, ООР). Вероятность: $P(X=2) = \frac{3}{8}$.
• $X=3$ (три орла): один благоприятствующий исход (ООО). Вероятность: $P(X=3) = \frac{1}{8}$.

Проверка: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1$.

Ответ:

252 Опыт состоит в бросании двух игральных костей. Заполните таблицу распределения вероятностей и постройте соответствующие диаграммы для случайной величины:

а) наибольшее из двух выпавших очков;

б) наименьшее из двух выпавших очков.

Указание. Наибольшее из данных чисел — это число, больше которого нет. Поэтому, если числа равны, то считается, что каждое из них наибольшее. Например, если оба раза выпало три очка, то считается, что наибольшее выпавшее число очков — три. То же самое с наименьшим значением.

При бросании двух игральных костей общее число равновероятных исходов равно $6 \times 6 = 36$. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел $(i, j)$, где $i$ — число очков на первой кости, а $j$ — на второй ($i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$).

Пусть случайная величина $X$ — это наибольшее из двух выпавших очков. Возможные значения, которые может принимать $X$, это $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Для нахождения вероятностей $P(X=k)$ для каждого возможного значения $k$ подсчитаем число благоприятствующих исходов. Исход, в котором наибольшее значение равно $k$, означает, что хотя бы на одной кости выпало $k$, а на другой — число, не большее $k$. Более удобный способ подсчета — найти число исходов, где наибольшее значение не превышает $k$ (это $k \times k = k^2$ исходов), и вычесть из него число исходов, где наибольшее значение не превышает $k-1$ (это $(k-1)^2$ исходов). Таким образом, число исходов, где наибольшее значение в точности равно $k$, составляет $k^2 - (k-1)^2 = 2k-1$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $X$:
- Для $X=1$: число исходов $2 \cdot 1 - 1 = 1$. Это исход (1, 1). Вероятность $P(X=1) = \frac{1}{36}$.
- Для $X=2$: число исходов $2 \cdot 2 - 1 = 3$. Это исходы (1, 2), (2, 1), (2, 2). Вероятность $P(X=2) = \frac{3}{36}$.
- Для $X=3$: число исходов $2 \cdot 3 - 1 = 5$. Вероятность $P(X=3) = \frac{5}{36}$.
- Для $X=4$: число исходов $2 \cdot 4 - 1 = 7$. Вероятность $P(X=4) = \frac{7}{36}$.
- Для $X=5$: число исходов $2 \cdot 5 - 1 = 9$. Вероятность $P(X=5) = \frac{9}{36}$.
- Для $X=6$: число исходов $2 \cdot 6 - 1 = 11$. Вероятность $P(X=6) = \frac{11}{36}$.

Сумма всех вероятностей: $\frac{1+3+5+7+9+11}{36} = \frac{36}{36} = 1$.

Таблица распределения вероятностей для случайной величины $X$:

Диаграмма распределения вероятностей (полигон распределения):

Ответ:

Пусть случайная величина $Y$ — это наименьшее из двух выпавших очков. Возможные значения, которые может принимать $Y$, также $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Для нахождения вероятностей $P(Y=k)$ для каждого значения $k$ подсчитаем число благоприятствующих исходов. Исход, в котором наименьшее значение равно $k$, означает, что хотя бы на одной кости выпало $k$, а на другой — число, не меньшее $k$. Число исходов, где наименьшее значение не меньше $k$ (т.е. оба значения $\ge k$), равно $(6-(k-1))^2 = (7-k)^2$. Число исходов, где наименьшее значение не меньше $k+1$, равно $(7-(k+1))^2 = (6-k)^2$. Тогда число исходов, где наименьшее значение в точности равно $k$, составляет $(7-k)^2 - (6-k)^2$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $Y$:
- Для $Y=1$: число исходов $(7-1)^2 - (6-1)^2 = 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$. Вероятность $P(Y=1) = \frac{11}{36}$.
- Для $Y=2$: число исходов $(7-2)^2 - (6-2)^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. Вероятность $P(Y=2) = \frac{9}{36}$.
- Для $Y=3$: число исходов $(7-3)^2 - (6-3)^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$. Вероятность $P(Y=3) = \frac{7}{36}$.
- Для $Y=4$: число исходов $(7-4)^2 - (6-4)^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$. Вероятность $P(Y=4) = \frac{5}{36}$.
- Для $Y=5$: число исходов $(7-5)^2 - (6-5)^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$. Вероятность $P(Y=5) = \frac{3}{36}$.
- Для $Y=6$: число исходов $(7-6)^2 - (6-6)^2 = 1^2 - 0^2 = 1$. Это исход (6, 6). Вероятность $P(Y=6) = \frac{1}{36}$.

Сумма всех вероятностей: $\frac{11+9+7+5+3+1}{36} = \frac{36}{36} = 1$.

Таблица распределения вероятностей для случайной величины $Y$:

Диаграмма распределения вероятностей (полигон распределения):

Ответ:

1 Что такое распределение вероятностей случайной величины?

Распределение вероятностей случайной величины — это закон, который описывает, как вероятности распределены между возможными значениями этой случайной величины. Иными словами, это правило (в виде таблицы, функции или графика), которое устанавливает соответствие между значениями, которые может принимать случайная величина, и вероятностями их появления.

Способ задания распределения зависит от типа случайной величины, которая может быть дискретной или непрерывной.

Для дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений ($x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$). Ее распределение вероятностей чаще всего задается рядом распределения — таблицей, в которой каждому возможному значению $x_i$ сопоставляется его вероятность $p_i = P(X=x_i)$.

Для ряда распределения должны выполняться два условия:
1. Все вероятности неотрицательны: $p_i \ge 0$.
2. Сумма всех вероятностей равна единице: $\sum_{i} p_i = 1$.

Пример: Распределение вероятностей для числа очков, выпадающих при однократном броске стандартного игрального кубика. Случайная величина $X$ — число очков.

Здесь сумма вероятностей: $6 \times \frac{1}{6} = 1$.

Для непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из некоторого числового промежутка. Вероятность того, что она примет одно конкретное значение, равна нулю. Поэтому для непрерывных величин распределение задают с помощью функции плотности вероятности (probability density function, PDF), обозначаемой как $f(x)$.

Функция плотности вероятности $f(x)$ — это неотрицательная функция, для которой вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $[a, b]$ равна площади под графиком этой функции на данном интервале. Эта площадь вычисляется с помощью интеграла:
$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Для функции плотности вероятности должны выполняться два условия:
1. Неотрицательность: $f(x) \ge 0$ для всех $x$.
2. Условие нормировки: площадь под всем графиком функции равна единице: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$.

Универсальный способ: функция распределения

Наиболее общим способом описания распределения, подходящим как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является интегральная функция распределения (cumulative distribution function, CDF), обозначаемая как $F(x)$.

Эта функция для любого числа $x$ определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее или равное $x$:
$F(x) = P(X \le x)$

Основные свойства функции распределения $F(x)$:
1. Значения функции лежат в отрезке $[0, 1]$: $0 \le F(x) \le 1$.
2. $F(x)$ является неубывающей функцией.
3. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ и $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$.

Для непрерывной случайной величины функция распределения связана с функцией плотности соотношением $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$, а плотность является производной функции распределения: $f(x) = F'(x)$.

Ответ: Распределение вероятностей случайной величины — это закон (правило), который устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Для дискретных величин его часто задают рядом распределения (таблицей), а для непрерывных — функцией плотности вероятности. Универсальным способом описания является функция распределения, которая показывает вероятность того, что случайная величина примет значение, не превышающее заданного.

2 Сформулируйте основное свойство распределения случайной величины.

Основное свойство распределения любой случайной величины, известное как условие нормировки, заключается в том, что полная вероятность всех возможных исходов равна единице. Это свойство выражает тот факт, что в результате опыта случайная величина обязательно примет одно из своих возможных значений. Событие, состоящее в том, что случайная величина примет какое-либо значение из своей области определения, является достоверным, и его вероятность равна 1.

В зависимости от типа случайной величины это свойство формулируется по-разному.

Для дискретной случайной величины (ДСВ)

Дискретная случайная величина $X$ принимает конечное или счётное множество значений $x_1, x_2, \dots, x_n, \dots$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n, \dots$, где $p_i = P(X = x_i)$. Закон её распределения часто задаётся в виде ряда распределения. Основное свойство для ДСВ состоит в том, что сумма вероятностей всех её возможных значений равна единице.

Математически это записывается так:

$\sum_{i} p_i = 1$

Суммирование производится по всем возможным значениям $i$. Например, при броске игральной кости сумма вероятностей выпадения каждой из граней (от 1 до 6) равна $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1$.

Для непрерывной случайной величины (НСВ)

Непрерывная случайная величина $X$ может принимать любые значения из некоторого числового промежутка. Её распределение описывается с помощью функции плотности вероятности (или плотности распределения) $f(x)$. Эта функция является неотрицательной ($f(x) \ge 0$). Основное свойство для НСВ заключается в том, что интеграл от функции плотности вероятности по всей числовой оси (то есть по всей области возможных значений случайной величины) равен единице.

Математически это записывается так:

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$

Геометрически это означает, что полная площадь под кривой графика функции плотности распределения $f(x)$ равна 1.

Ответ: Основное свойство распределения случайной величины (условие нормировки) заключается в том, что сумма вероятностей всех возможных значений для дискретной случайной величины равна 1 (математически: $\sum_{i} p_i = 1$), а для непрерывной случайной величины несобственный интеграл от функции плотности вероятности в пределах от $-\infty$ до $+\infty$ равен 1 (математически: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$).

3 Всегда ли различные значения случайной величины имеют равные вероятности?

Нет, далеко не всегда различные значения случайной величины имеют равные вероятности. Ситуация, когда все возможные значения случайной величины равновероятны, является частным, хотя и важным, случаем.

Случай с равными вероятностями (Равномерное распределение)

Равные вероятности возникают тогда, когда все элементарные исходы эксперимента, порождающего случайную величину, равновозможны. Классическим примером является бросок идеальной игральной кости.

Пусть случайная величина $X$ — это число очков, выпавшее при одном броске симметричной шестигранной кости. Возможные значения $X$: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Вероятность каждого из этих значений одинакова и равна $1/6$:

$P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = \frac{1}{6}$

В этом случае значения случайной величины действительно имеют равные вероятности.

Случай с неравными вероятностями

Однако в большинстве случаев вероятности различных значений случайной величины не равны. Рассмотрим пример, который это наглядно иллюстрирует.

Пусть случайная величина $Y$ — это сумма очков, выпавших при броске двух идеальных игральных костей. Возможные значения $Y$: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Найдем вероятности для некоторых из этих значений. Общее число равновозможных исходов (пар чисел на костях) равно $6 \times 6 = 36$.

• Значение $Y=2$ может быть получено только одним способом: (1, 1). Вероятность: $P(Y=2) = \frac{1}{36}$.
• Значение $Y=3$ может быть получено двумя способами: (1, 2) и (2, 1). Вероятность: $P(Y=3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
• Значение $Y=7$ является наиболее вероятным и может быть получено шестью способами: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Вероятность: $P(Y=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Как мы видим, $P(Y=2) \neq P(Y=3) \neq P(Y=7)$. Вероятности различных значений случайной величины $Y$ не равны.

Вывод

Случайные величины, у которых все значения имеют одинаковую вероятность, существуют, но это лишь один из видов распределений (дискретное равномерное распределение). Во множестве других случаев, таких как биномиальное, пуассоновское или, как в примере выше, распределение суммы очков двух костей, вероятности различных значений не являются равными.

Ответ: Нет, различные значения случайной величины не всегда имеют равные вероятности. Это справедливо только для некоторых специальных случаев, например, для дискретного равномерного распределения. В общем случае вероятности могут быть различными.

4 Приведите пример случайной величины, все возможные значения которой имеют равные вероятности.

В качестве примера рассмотрим случайный эксперимент с броском стандартного шестигранного игрального кубика. Пусть случайная величина $X$ — это число очков, которое выпадает на верхней грани кубика.

Возможными значениями этой случайной величины являются целые числа от 1 до 6, то есть множество значений $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Всего существует $n=6$ исходов.

Если кубик является "честным" или "симметричным", то есть все его грани имеют одинаковые шансы выпасть, то все 6 исходов являются равновероятными. Вероятность $P$ каждого возможного значения $x_i$ из множества $S$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(X=x_i) = \frac{1}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов. В нашем случае $n=6$.

Таким образом, вероятности для всех возможных значений случайной величины $X$ будут равны:
$P(X=1) = \frac{1}{6}$
$P(X=2) = \frac{1}{6}$
$P(X=3) = \frac{1}{6}$
$P(X=4) = \frac{1}{6}$
$P(X=5) = \frac{1}{6}$
$P(X=6) = \frac{1}{6}$
Как видно, все возможные значения этой случайной величины имеют равные вероятности. Такое распределение называется дискретным равномерным распределением.

Другим, более простым примером, является подбрасывание симметричной монеты. Случайная величина, принимающая значение 1 при выпадении "орла" и 0 при выпадении "решки", имеет два возможных значения {0, 1}, вероятность каждого из которых равна $\frac{1}{2}$.

Ответ: Случайная величина, равная числу очков, выпадающему при однократном броске стандартного игрального кубика. Ее возможные значения — {1, 2, 3, 4, 5, 6}, и вероятность каждого из них равна $\frac{1}{6}$.