Страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

121 Каждый федеральный округ Российской Федерации объединяет несколько регионов, например областей или республик. Можно построить граф смежности, изображая регионы вершинами. Две вершины связаны ребром, если соответствующие регионы имеют участок сухопутной границы. На рисунках 22 и 23 изображены карты Дальневосточного (рис. 22) и Приволжского (рис. 23) федеральных округов.

Рисунок 22

ЧУКОТСКИЙ
АВТ. ОКРУГ

МАГАДАНСКАЯ
ОБЛАСТЬ

КАМЧАТСКИЙ КРАЙ

РЕСПУБЛИКА САХА
(ЯКУТИЯ)

ХАБАРОВСКИЙ КРАЙ

САХАЛИНСКАЯ
ОБЛАСТЬ

АМУРСКАЯ
ОБЛАСТЬ

ЕВРЕЙСКАЯ
АВТ. ОБЛАСТЬ

ПРИМОРСКИЙ
КРАЙ

РЕСПУБЛИКА
БУРЯТИЯ

ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ
КРАЙ

Рисунок 23

РЕСПУБЛИКА
МАРИЙ ЭЛ

КИРОВСКАЯ
ОБЛАСТЬ

ПЕРМСКИЙ
КРАЙ

УДМУРТСКАЯ
РЕСПУБЛИКА

НИЖЕГОРОДСКАЯ
ОБЛАСТЬ

РЕСПУБЛИКА
МОРДОВИЯ

ЧУВАШСКАЯ
РЕСПУБЛИКА -
ЧУВАШИЯ

ПЕНЗЕНСКАЯ
ОБЛАСТЬ

САРАТОВСКАЯ
ОБЛАСТЬ

РЕСПУБЛИКА
ТАТАРСТАН
(ТАТАРСТАН)

САМАРСКАЯ
ОБЛАСТЬ

ОРЕНБУРГСКАЯ
ОБЛАСТЬ

УЛЬЯНОВСКАЯ
ОБЛАСТЬ

РЕСПУБЛИКА
БАШКОРТОСТАН

Постройте граф смежности регионов:

а) для ДВФО;

б) для ПФО.

Есть ли в графе изолированная вершина?

а) для ДВФО;

Граф смежности для Дальневосточного федерального округа (ДВФО) строится по следующему принципу: вершинами графа являются субъекты РФ, входящие в ДВФО, а ребро между двумя вершинами существует, если соответствующие субъекты имеют общую сухопутную границу.

На основе карты (рис. 22) определим вершины и их связи.
Вершины (субъекты ДВФО): Республика Саха (Якутия), Чукотский автономный округ, Камчатский край, Магаданская область, Хабаровский край, Амурская область, Республика Бурятия, Забайкальский край, Еврейская автономная область, Приморский край, Сахалинская область.

Связи (смежные регионы), образующие рёбра графа:
Республика Саха (Якутия) граничит с: Чукотским АО, Магаданской областью, Камчатским краем, Хабаровским краем, Амурской областью, Забайкальским краем.
Чукотский АО граничит с: Республикой Саха (Якутия), Магаданской областью, Камчатским краем.
Камчатский край граничит с: Чукотским АО, Магаданской областью, Республикой Саха (Якутия).
Магаданская область граничит с: Чукотским АО, Камчатским краем, Республикой Саха (Якутия), Хабаровским краем.
Хабаровский край граничит с: Республикой Саха (Якутия), Магаданской областью, Амурской областью, Еврейской АО, Приморским краем, Забайкальским краем.
Амурская область граничит с: Республикой Саха (Якутия), Забайкальским краем, Хабаровским краем, Еврейской АО.
Республика Бурятия граничит с: Забайкальским краем.
Забайкальский край граничит с: Республикой Саха (Якутия), Амурской областью, Республикой Бурятия, Хабаровским краем.
Еврейская АО граничит с: Амурской областью, Хабаровским краем.
Приморский край граничит с: Хабаровским краем.
Сахалинская область не имеет сухопутных границ с другими субъектами ДВФО.

Ответ: граф смежности ДВФО построен. В данном графе есть изолированная вершина — Сахалинская область, так как она является островным регионом и не имеет сухопутных границ с другими субъектами округа. Степень этой вершины равна $0$.

б) для ПФО.

Аналогично, строим граф смежности для Приволжского федерального округа (ПФО) на основе карты (рис. 23).

Вершины (субъекты ПФО): Кировская область, Нижегородская область, Республика Марий Эл, Республика Мордовия, Чувашская Республика, Пензенская область, Саратовская область, Ульяновская область, Самарская область, Республика Татарстан, Пермский край, Удмуртская Республика, Республика Башкортостан, Оренбургская область.

Связи (смежные регионы), образующие рёбра графа:
Кировская область граничит с: Нижегородской областью, Республикой Марий Эл, Республикой Татарстан, Удмуртской Республикой, Пермским краем.
Нижегородская область граничит с: Кировской областью, Республикой Марий Эл, Чувашской Республикой, Республикой Мордовия.
Республика Марий Эл граничит с: Кировской областью, Нижегородской областью, Чувашской Республикой, Республикой Татарстан.
Республика Мордовия граничит с: Нижегородской областью, Чувашской Республикой, Ульяновской областью, Пензенской областью.
Чувашская Республика граничит с: Нижегородской областью, Республикой Марий Эл, Республикой Татарстан, Ульяновской областью, Республикой Мордовия.
Пензенская область граничит с: Республикой Мордовия, Ульяновской областью, Саратовской областью.
Саратовская область граничит с: Пензенской областью, Ульяновской областью, Самарской областью, Оренбургской областью.
Ульяновская область граничит с: Республикой Мордовия, Чувашской Республикой, Республикой Татарстан, Самарской областью, Саратовской областью, Пензенской областью.
Самарская область граничит с: Ульяновской областью, Республикой Татарстан, Оренбургской областью, Саратовской областью.
Республика Татарстан граничит с: Кировской областью, Республикой Марий Эл, Чувашской Республикой, Ульяновской областью, Самарской областью, Оренбургской областью, Республикой Башкортостан, Удмуртской Республикой.
Пермский край граничит с: Кировской областью, Удмуртской Республикой, Республикой Башкортостан.
Удмуртская Республика граничит с: Кировской областью, Пермским краем, Республикой Башкортостан, Республикой Татарстан.
Республика Башкортостан граничит с: Пермским краем, Удмуртской Республикой, Республикой Татарстан, Оренбургской областью.
Оренбургская область граничит с: Республикой Татарстан, Республикой Башкортостан, Самарской областью, Саратовской областью.

Ответ: граф смежности ПФО построен. В данном графе изолированных вершин нет, так как каждый регион округа имеет сухопутную границу хотя бы с одним другим регионом этого же округа. Граф является связным.

248 В книжке 16 страниц. Вы наугад открываете книжку и смотрите номер страницы слева. Можно ли считать эту величину случайной? Какие значения она может принимать?

Можно ли считать эту величину случайной?
Да, эту величину можно считать случайной. Случайной величиной называют переменную, значение которой является числовым исходом некоторого случайного эксперимента. В данном случае, процесс «открыть книжку наугад» является случайным экспериментом, так как его результат заранее непредсказуем. Номер страницы слева — это число, которое мы получаем в результате этого эксперимента. Поскольку значение этой величины зависит от случая, её можно и нужно считать случайной.
Ответ: Да, можно.

Какие значения она может принимать?
В стандартной верстке книг страницы нумеруются последовательно, при этом на правой стороне разворота всегда находится страница с нечетным номером, а на левой — с четным.
Книга содержит 16 страниц, пронумерованных от 1 до 16.
1. Первая страница (номер 1) всегда находится справа. Следовательно, номер левой страницы не может быть равен 1 или любому другому нечетному числу.
2. Последняя страница (номер 16) является оборотом страницы 15 и находится слева. Значит, 16 — это одно из возможных значений.
3. Любой другой разворот книги будет состоять из четной страницы слева и следующей за ней нечетной страницы справа (например, страницы 2 и 3, 4 и 5, и так далее до разворота со страницами 14 и 15).
Таким образом, номер страницы слева может принимать только четные значения. Учитывая, что в книге 16 страниц, возможными значениями будут все четные числа от 2 до 16 включительно.
Ответ: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.

249 Какие значения может принимать случайная величина:

а) сумма очков при бросании двух игральных костей;

б) сумма очков при бросании трёх игральных костей;

в) число испытаний в опыте, где испытания проводятся до первого успеха;

г) количество успехов в серии из $n$ испытаний Бернулли?

а) сумма очков при бросании двух игральных костей Стандартная игральная кость имеет 6 граней, на которые нанесены числа от 1 до 6. Когда мы бросаем две кости, мы рассматриваем сумму выпавших на них очков. Минимально возможная сумма очков достигается, когда на обеих костях выпадает наименьшее значение, то есть 1. В этом случае сумма равна $1 + 1 = 2$. Максимально возможная сумма достигается, когда на обеих костях выпадает наибольшее значение, то есть 6. В этом случае сумма равна $6 + 6 = 12$. Можно получить и любое целое значение между 2 и 12. Например, чтобы получить сумму 3, на костях должны выпасть 1 и 2. Чтобы получить 7, могут выпасть пары (1, 6), (2, 5) или (3, 4). Таким образом, множество возможных значений для этой случайной величины — это все целые числа от 2 до 12. Ответ: $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

б) сумма очков при бросании трёх игральных костей Аналогично предыдущему пункту, на каждой из трёх костей может выпасть число очков от 1 до 6. Минимальная возможная сумма получится, если на всех трёх костях выпадет по единице: $1 + 1 + 1 = 3$. Максимальная возможная сумма получится, если на всех трёх костях выпадет по шестёрке: $6 + 6 + 6 = 18$. Любое целое значение между 3 и 18 также достижимо. Чтобы получить значение $k$ из этого диапазона, можно подобрать соответствующую комбинацию очков на трёх костях. Например, чтобы получить сумму 4, может выпасть комбинация (1, 1, 2). Таким образом, множество возможных значений для этой случайной величины — это все целые числа от 3 до 18. Ответ: $\{3, 4, 5, \dots, 17, 18\}$.

в) число испытаний в опыте, где испытания проводятся до первого успеха Этот тип эксперимента описывается геометрическим распределением. Мы проводим последовательные испытания, пока не наступит первое событие, которое мы определяем как "успех". "Успех" может произойти уже в первом испытании; тогда число испытаний равно 1. Если первое испытание — "неудача", а второе — "успех", то число испытаний равно 2. Если первые два испытания — "неудачи", а третье — "успех", то число испытаний равно 3, и так далее. Теоретически, мы можем получать "неудачи" сколь угодно долго, прежде чем наступит "успех". Это означает, что нет верхней границы для числа испытаний. Следовательно, случайная величина может принимать любое натуральное (целое положительное) значение. Ответ: $\{1, 2, 3, \dots\}$.

г) количество успехов в серии из n испытаний Бернулли Этот тип эксперимента описывается биномиальным распределением. У нас есть фиксированное общее число испытаний, равное $n$. В каждом испытании возможны только два исхода: "успех" или "неудача". Случайная величина представляет собой общее число "успехов" во всей серии. Наименьшее возможное число успехов — это 0, что соответствует случаю, когда все $n$ испытаний закончились "неудачей". Наибольшее возможное число успехов — это $n$, когда все $n$ испытаний были "успешными". Также возможно любое целое число успехов между 0 и $n$. Например, $k$ успехов (где $0 \le k \le n$) и, соответственно, $n-k$ неудач. Таким образом, множество возможных значений для этой случайной величины — это все целые числа от 0 до $n$. Ответ: $\{0, 1, 2, \dots, n\}$.

250 Известно, что в классе 32 ученика. Из них 20 девочек. Какие значения может принимать случайная величина:

a) число девочек, присутствующих сегодня в классе;

б) число учеников, отсутствующих сегодня в классе?

Сколько различных значений может принять каждая из этих случайных величин?

а) число девочек, присутствующих сегодня в классе;

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу девочек, присутствующих сегодня в классе. Всего в классе 20 девочек. Минимальное возможное число присутствующих девочек — 0 (когда все девочки отсутствуют). Максимальное возможное число — 20 (когда все девочки присутствуют). Так как число учениц может быть только целым, то случайная величина $X$ может принимать любое целое значение из промежутка $[0, 20]$.
Множество возможных значений: $\{0, 1, 2, \dots, 20\}$.
Чтобы найти количество различных значений, которые может принять эта случайная величина, нужно найти количество целых чисел от 0 до 20 включительно. Это можно сделать по формуле: $N = k_{max} - k_{min} + 1$.
$N = 20 - 0 + 1 = 21$.
Ответ: случайная величина может принимать целые значения от 0 до 20; всего 21 различное значение.

б) число учеников, отсутствующих сегодня в классе?

Пусть $Y$ — случайная величина, равная числу учеников, отсутствующих сегодня в классе. Всего в классе 32 ученика. Минимальное возможное число отсутствующих — 0 (когда все ученики присутствуют). Максимальное возможное число — 32 (когда все ученики отсутствуют). Случайная величина $Y$ может принимать любое целое значение из промежутка $[0, 32]$.
Множество возможных значений: $\{0, 1, 2, \dots, 32\}$.
Количество различных значений этой случайной величины:
$N = 32 - 0 + 1 = 33$.
Ответ: случайная величина может принимать целые значения от 0 до 32; всего 33 различных значения.