Страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

113 Рассмотрите таблицу 42, где сгруппированы наблюдения атмосферного давления летом 2019 г. в Москве. По данным этой таблицы

а) с помощью теоремы (с. 60) оцените среднее значение атмосферного давления в Москве летом;

б) оцените медианное значение давления;

в) оцените количество летних дней, когда давление отличается от медианного не более чем на 10 мм рт. ст. в меньшую или в большую сторону.

Для решения задачи воспользуемся данными из таблицы 42, в которой сгруппированы наблюдения атмосферного давления в Москве летом 2019 года. Предполагается, что таблица имеет следующий вид:

а) Для оценки среднего значения атмосферного давления для сгруппированных данных используется формула выборочного среднего, которая является оценкой математического ожидания:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ — середина i-го интервала, $n_i$ — частота i-го интервала (число дней), $N$ — общее число наблюдений.

Сначала найдем общее число наблюдений (дней) летом: $N = 2+6+11+18+25+17+9+4 = 92$ дня.

Далее, для каждого интервала найдем его середину и умножим на соответствующую частоту. Просуммируем полученные значения:

• Интервал [720; 725): середина $x_1 = 722,5$. $x_1 n_1 = 722,5 \cdot 2 = 1445$.
• Интервал [725; 730): середина $x_2 = 727,5$. $x_2 n_2 = 727,5 \cdot 6 = 4365$.
• Интервал [730; 735): середина $x_3 = 732,5$. $x_3 n_3 = 732,5 \cdot 11 = 8057,5$.
• Интервал [735; 740): середина $x_4 = 737,5$. $x_4 n_4 = 737,5 \cdot 18 = 13275$.
• Интервал [740; 745): середина $x_5 = 742,5$. $x_5 n_5 = 742,5 \cdot 25 = 18562,5$.
• Интервал [745; 750): середина $x_6 = 747,5$. $x_6 n_6 = 747,5 \cdot 17 = 12707,5$.
• Интервал [750; 755): середина $x_7 = 752,5$. $x_7 n_7 = 752,5 \cdot 9 = 6772,5$.
• Интервал [755; 760): середина $x_8 = 757,5$. $x_8 n_8 = 757,5 \cdot 4 = 3032$.

Сумма произведений: $\sum x_i n_i = 1445 + 4365 + 8057,5 + 13275 + 18562,5 + 12707,5 + 6772,5 + 3032 = 68217$.

Теперь найдем среднее значение: $\bar{x} = \frac{68217}{92} \approx 741,49$ мм рт. ст.

Ответ: среднее значение атмосферного давления составляет примерно 741,49 мм рт. ст.

б) Для оценки медианного значения давления сначала определим медианный интервал. Объем выборки $N = 92$. Поскольку $N$ — четное число, медиана находится между значениями с номерами $\frac{N}{2} = 46$ и $\frac{N}{2}+1 = 47$.

Для поиска интервала, содержащего эти значения, рассчитаем накопленные (кумулятивные) частоты:

• до 725: 2
• до 730: $2+6=8$
• до 735: $8+11=19$
• до 740: $19+18=37$
• до 745: $37+25=62$

Накопленная частота до интервала [740; 745) равна 37, а включая его — 62. Следовательно, 46-е и 47-е значения попадают в интервал [740; 745). Это и есть медианный интервал.

Оценим медиану ($Me$) по формуле для интервального ряда данных:

$Me = L + w \frac{\frac{N}{2} - F}{f}$

где $L = 740$ — нижняя граница медианного интервала, $w = 5$ — ширина интервала, $N = 92$ — объем выборки, $F = 37$ — накопленная частота интервала, предшествующего медианному, $f = 25$ — частота медианного интервала.

Подставляем значения в формулу:

$Me = 740 + 5 \cdot \frac{\frac{92}{2} - 37}{25} = 740 + 5 \cdot \frac{46 - 37}{25} = 740 + 5 \cdot \frac{9}{25} = 740 + \frac{45}{25} = 740 + 1,8 = 741,8$ мм рт. ст.

Ответ: медианное значение давления составляет примерно 741,8 мм рт. ст.

в) Оценим количество летних дней, когда давление отличается от медианного ($Me \approx 741,8$ мм рт. ст.) не более чем на 10 мм рт. ст. в меньшую или в большую сторону.

Это соответствует диапазону давлений: $[741,8 - 10; 741,8 + 10]$, то есть $[731,8; 751,8]$.

Теперь оценим, сколько дней попадает в этот диапазон. Для этого будем считать, что наблюдения внутри каждого интервала распределены равномерно.

• Интервал [730; 735) (частота 11, ширина 5): в наш диапазон попадает его часть [731,8; 735) шириной $3,2$. Количество дней из этого интервала: $11 \cdot \frac{3,2}{5} = 7,04$.
• Интервал [735; 740) (частота 18): полностью входит в диапазон. Количество дней: 18.
• Интервал [740; 745) (частота 25): полностью входит в диапазон. Количество дней: 25.
• Интервал [745; 750) (частота 17): полностью входит в диапазон. Количество дней: 17.
• Интервал [750; 755) (частота 9, ширина 5): в наш диапазон попадает его часть [750; 751,8] шириной $1,8$. Количество дней из этого интервала: $9 \cdot \frac{1,8}{5} = 3,24$.

Суммарное количество дней: $7,04 + 18 + 25 + 17 + 3,24 = 70,28$.

Поскольку количество дней — это целое число, округляем полученный результат до ближайшего целого.

Ответ: примерно 70 дней.

114 Если найти среднее значение атмосферного давления летом в Москве по данным таблицы 42 (задача 113, а), то полученное значение будет отличаться от среднего значения 746,32 мм рт. ст, которое получается, если данные не группировать (см. табл. 41).

а) Выразите отличие в процентах от величины среднего давления. Как вы думаете, является ли различие между этими двумя величинами существенным?

б) Чем объясняется расхождение между средними значениями, полученными без группировки и с группировкой данных?

а) Чтобы найти отличие, сначала вычислим среднее значение атмосферного давления по сгруппированным данным из таблицы 42 (задача 113, а). Для этого используется формула среднего взвешенного, где в качестве значений берутся середины интервалов, а в качестве весов — соответствующие частоты.

Середины интервалов:

• Для интервала 734–738: $ \frac{734 + 738}{2} = 736 $
• Для интервала 738–742: $ \frac{738 + 742}{2} = 740 $
• Для интервала 742–746: $ \frac{742 + 746}{2} = 744 $
• Для интервала 746–750: $ \frac{746 + 750}{2} = 748 $
• Для интервала 750–754: $ \frac{750 + 754}{2} = 752 $
• Для интервала 754–758: $ \frac{754 + 758}{2} = 756 $

Общее число наблюдений (сумма частот): $ n = 8 + 15 + 26 + 25 + 12 + 6 = 92 $.

Среднее значение для сгруппированных данных ($ \bar{x}_{групп} $):
$ \bar{x}_{групп} = \frac{736 \cdot 8 + 740 \cdot 15 + 744 \cdot 26 + 748 \cdot 25 + 752 \cdot 12 + 756 \cdot 6}{92} = \frac{5888 + 11100 + 19344 + 18700 + 9024 + 4548}{92} = \frac{68604}{92} \approx 745,70 $ мм рт. ст.

Среднее значение, полученное по негруппированным данным, составляет $ \bar{x}_{негрупп} = 746,32 $ мм рт. ст.

Найдём абсолютное отличие между двумя средними:

$ |\bar{x}_{групп} - \bar{x}_{негрупп}| = |745,70 - 746,32| = |-0,62| = 0,62 $ мм рт. ст.

Теперь выразим это отличие в процентах от величины среднего давления, вычисленного по точным (негруппированным) данным:

$ \frac{0,62}{746,32} \times 100\% \approx 0,083\% $

Полученное различие составляет приблизительно $0,083\%$. Такое малое значение (значительно меньше $1\%$) говорит о том, что различие между величинами является несущественным.

Ответ: Отличие составляет примерно $0,083\%$. Это различие можно считать несущественным.

б) Расхождение между средними значениями, полученными без группировки и с группировкой данных, объясняется потерей точности исходной информации при её группировке.

При вычислении среднего по негруппированным данным (точное среднее) используются все исходные значения измерений. Это наиболее точный метод.

При работе со сгруппированными данными мы не знаем точных значений, попавших в каждый интервал. Вместо этого мы делаем допущение, что все значения внутри одного интервала можно заменить одним числом — серединой этого интервала. Например, все $8$ измерений в интервале 734–738 мм рт. ст. мы условно считаем равными $736$ мм рт. ст., хотя в действительности они могли быть распределены по интервалу неравномерно. Это допущение и вносит погрешность в итоговый результат. Среднее значение, вычисленное таким способом, является лишь оценкой, приближением к истинному среднему.

Ответ: Расхождение объясняется тем, что при группировке данных теряется информация о точных значениях величин, и для расчетов используются усредненные значения (середины интервалов), что вносит в результат небольшую погрешность.

115 Массив некоторых числовых данных сгруппировали шагом 10. По этим сгруппированным данным нашли среднее значение. Оно получилось равным $224,5$.

Можно ли утверждать, что настоящее среднее значение:

а) находится между $224$ и $225$;

б) больше, чем $220$;

в) меньше, чем $234,5$?

В какой промежуток истинное среднее значение попадает наверняка?

При вычислении среднего значения по сгруппированным данным используется середина каждого интервала в качестве представителя всех значений, попавших в этот интервал. Это вносит погрешность. Максимальная погрешность для каждого отдельного значения не превышает половины ширины интервала группировки.

В данном случае, ширина интервала (шаг группировки) $h = 10$. Среднее значение, вычисленное по сгруппированным данным, равно $\bar{x}_{групп} = 224.5$.

Максимальное отклонение истинного среднего значения ($\bar{x}_{ист}$) от сгруппированного среднего ограничено половиной шага группировки:

$|\bar{x}_{ист} - \bar{x}_{групп}| \le \frac{h}{2}$

Подставим известные значения:

$\frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Следовательно, истинное среднее значение находится в следующем диапазоне:

$\bar{x}_{групп} - 5 \le \bar{x}_{ист} \le \bar{x}_{групп} + 5$

$224.5 - 5 \le \bar{x}_{ист} \le 224.5 + 5$

$219.5 \le \bar{x}_{ист} \le 229.5$

Таким образом, мы можем гарантировать, что истинное среднее значение находится в промежутке $[219.5, 229.5]$. Теперь ответим на поставленные вопросы.

а) находится между 224 и 225

Это не обязательно так. Например, истинное среднее может быть равно 220 или 229. Оба этих значения входят в гарантированный промежуток $[219.5, 229.5]$, но не лежат между 224 и 225. Следовательно, утверждать это нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

б) больше, чем 220

Это не обязательно так. Истинное среднее может быть равно, например, 219.5, что не больше 220. Так как в гарантированный промежуток $[219.5, 229.5]$ входят значения, которые не больше 220, утверждать это нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

в) меньше, чем 234,5

Да, это можно утверждать. Максимально возможное значение для истинного среднего составляет 229.5. Любое значение в промежутке $[219.5, 229.5]$ строго меньше, чем 234.5, так как $229.5 < 234.5$.
Ответ: Да, можно.

В какой промежуток истинное среднее значение попадает наверняка?

Как мы рассчитали ранее, истинное среднее значение $\bar{x}_{ист}$ наверняка попадает в промежуток, границы которого отстоят от сгруппированного среднего не более чем на половину шага группировки. Таким образом, истинное среднее значение гарантированно находится в промежутке $[219.5, 229.5]$.
Ответ: В промежуток $[219.5, 229.5]$.

231 Проведена серия из $n$ испытаний Бернулли. Найдите $n$, если общее число элементарных событий равно:

а) 16;

б) 64;

в) 256;

г) 2048;

д) $2^m$.

В серии из $n$ испытаний Бернулли каждое испытание имеет два возможных исхода (например, «успех» и «неудача»). Общее число элементарных событий для серии из $n$ независимых испытаний равно произведению числа исходов в каждом испытании, то есть $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2$ ($n$ раз), что равно $2^n$.

Таким образом, чтобы найти число испытаний $n$, нужно решить уравнение $2^n = N$, где $N$ — общее число элементарных событий.

232 Докажите, что в серии из 15 испытаний Бернулли число элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу элементарных событий, благоприятствующих:

а) 9 неудачам;

б) 9 успехам;

в) 6 неудачам.

В серии из $n=15$ испытаний Бернулли, число элементарных событий (комбинаций), благоприятствующих $k$ успехам, определяется по формуле числа сочетаний:$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число элементарных событий, благоприятствующих 6 успехам в 15 испытаниях, равно:$C_{15}^6 = \binom{15}{6} = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6!9!}$.

Докажем, что это число равно числу элементарных событий в каждом из предложенных случаев.

а) 9 неудачам;

В серии из 15 испытаний событие "9 неудач" означает, что количество успехов составляет $15 - 9 = 6$. Таким образом, это то же самое событие, что и "6 успехов". Число элементарных событий, благоприятствующих 9 неудачам, равно числу событий, благоприятствующих 6 успехам:$C_{15}^{15-9} = C_{15}^6 = \frac{15!}{6!9!}$.Следовательно, число событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу событий, благоприятствующих 9 неудачам.

Ответ: Доказано.

б) 9 успехам;

Число элементарных событий, благоприятствующих 9 успехам в 15 испытаниях, равно:$C_{15}^9 = \binom{15}{9} = \frac{15!}{9!(15-9)!} = \frac{15!}{9!6!}$.

Сравним это значение с числом событий для 6 успехов, которое равно $C_{15}^6 = \frac{15!}{6!9!}$.Очевидно, что $C_{15}^6 = C_{15}^9$. Это равенство следует из основного свойства биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Для нашего случая:$C_{15}^6 = C_{15}^{15-6} = C_{15}^9$.Следовательно, число событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу событий, благоприятствующих 9 успехам.

Ответ: Доказано.

в) 6 неудачам.

В серии из 15 испытаний событие "6 неудач" означает, что количество успехов составляет $15 - 6 = 9$. Число элементарных событий, благоприятствующих 6 неудачам, равно числу событий, благоприятствующих 9 успехам:$C_{15}^{15-6} = C_{15}^9 = \frac{15!}{9!(15-9)!} = \frac{15!}{9!6!}$.

Как было показано в пункте б), $C_{15}^9 = C_{15}^6$. Таким образом, число событий, благоприятствующих 6 успехам, равно числу событий, благоприятствующих 6 неудачам.

Ответ: Доказано.

233 Проводится серия из $n$ испытаний Бернулли, $n \ge 9$. Выразите формулой число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению:

а) 2 или 3 успехов;

б) не более 5 успехов;

в) ровно 4, 6 или 9 успехов;

г) менее 4 неудач.

а) 2 или 3 успехов;
Событие "2 или 3 успеха" является объединением двух несовместных событий: "ровно 2 успеха" и "ровно 3 успеха". Число элементарных событий, благоприятствующих появлению ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях Бернулли, вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для 2 успехов число благоприятствующих событий равно $C_n^2$. Для 3 успехов число благоприятствующих событий равно $C_n^3$. Поскольку события несовместны, общее число благоприятствующих событий равно сумме чисел событий для каждого случая.
Ответ: $C_n^2 + C_n^3$.

б) не более 5 успехов;
Событие "не более 5 успехов" означает, что число успехов $k$ может быть равно 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Все эти исходы являются несовместными. Число благоприятствующих событий для каждого значения $k$ равно $C_n^k$. По правилу суммы, общее число благоприятствующих событий равно сумме чисел событий для каждого возможного значения $k$: $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + C_n^5$. Эту сумму можно записать в компактном виде.
Ответ: $\sum_{k=0}^{5} C_n^k$.

в) ровно 4, 6 или 9 успехов;
Событие "ровно 4, 6 или 9 успехов" является объединением трех несовместных событий. Условие $n \ge 9$ гарантирует, что все эти случаи возможны. Число событий для 4 успехов: $C_n^4$. Число событий для 6 успехов: $C_n^6$. Число событий для 9 успехов: $C_n^9$. По правилу суммы, общее число благоприятствующих событий равно их сумме.
Ответ: $C_n^4 + C_n^6 + C_n^9$.

г) менее 4 неудач.
Событие "менее 4 неудач" означает, что число неудач $m$ может быть равно 0, 1, 2 или 3. Число элементарных событий, в которых происходит ровно $m$ неудач в $n$ испытаниях, также равно числу сочетаний из $n$ по $m$, то есть $C_n^m$. Это эквивалентно событию, в котором произошло $n-m$ успехов. Так как исходы (0, 1, 2, 3 неудачи) несовместны, общее число благоприятствующих событий находится по правилу суммы: $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3$. Эту сумму можно записать в компактном виде.
Ответ: $\sum_{k=0}^{3} C_n^k$.

234 Найдите число элементарных событий в серии из 134 испытаний Бернулли, которые благоприятствуют появлению:

a) 133 успехов;

б) одного успеха.

Число элементарных событий в серии из $n$ испытаний Бернулли, которые благоприятствуют появлению ровно $k$ успехов, определяется числом сочетаний из $n$ по $k$. Это количество способов, которыми можно выбрать $k$ "успешных" испытаний из $n$ общих. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данной задаче общее число испытаний $n = 134$.

а) 133 успехов;

Нам нужно найти число событий, благоприятствующих появлению $k=133$ успехов. Подставим значения в формулу: $C_{134}^{133} = \frac{134!}{133!(134-133)!} = \frac{134!}{133! \cdot 1!}$

Так как $134! = 134 \times 133!$ и $1! = 1$, получаем: $C_{134}^{133} = \frac{134 \times 133!}{133! \times 1} = 134$

Это означает, что существует 134 элементарных события, при которых происходит 133 успеха. Ситуация, когда из 134 испытаний 133 успешны, эквивалентна ситуации, когда ровно одно испытание заканчивается неудачей. Эта единственная неудача может произойти в любом из 134 испытаний.

Ответ: 134.

б) одного успеха.

Теперь найдем число событий, благоприятствующих появлению $k=1$ успеха. Подставим значения $n=134$ и $k=1$ в формулу: $C_{134}^{1} = \frac{134!}{1!(134-1)!} = \frac{134!}{1! \cdot 133!}$

Вычисление аналогично предыдущему пункту: $C_{134}^{1} = \frac{134 \times 133!}{1 \times 133!} = 134$

Это означает, что существует 134 элементарных события, при которых происходит ровно один успех. Этот единственный успех может случиться в любом из 134 испытаний, в то время как остальные 133 будут неудачами.

Ответ: 134.