Номер 114, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

114 Если найти среднее значение атмосферного давления летом в Москве по данным таблицы 42 (задача 113, а), то полученное значение будет отличаться от среднего значения 746,32 мм рт. ст, которое получается, если данные не группировать (см. табл. 41).

а) Выразите отличие в процентах от величины среднего давления. Как вы думаете, является ли различие между этими двумя величинами существенным?

б) Чем объясняется расхождение между средними значениями, полученными без группировки и с группировкой данных?

а) Чтобы найти отличие, сначала вычислим среднее значение атмосферного давления по сгруппированным данным из таблицы 42 (задача 113, а). Для этого используется формула среднего взвешенного, где в качестве значений берутся середины интервалов, а в качестве весов — соответствующие частоты.

Середины интервалов:

• Для интервала 734–738: $ \frac{734 + 738}{2} = 736 $
• Для интервала 738–742: $ \frac{738 + 742}{2} = 740 $
• Для интервала 742–746: $ \frac{742 + 746}{2} = 744 $
• Для интервала 746–750: $ \frac{746 + 750}{2} = 748 $
• Для интервала 750–754: $ \frac{750 + 754}{2} = 752 $
• Для интервала 754–758: $ \frac{754 + 758}{2} = 756 $

Общее число наблюдений (сумма частот): $ n = 8 + 15 + 26 + 25 + 12 + 6 = 92 $.

Среднее значение для сгруппированных данных ($ \bar{x}_{групп} $):
$ \bar{x}_{групп} = \frac{736 \cdot 8 + 740 \cdot 15 + 744 \cdot 26 + 748 \cdot 25 + 752 \cdot 12 + 756 \cdot 6}{92} = \frac{5888 + 11100 + 19344 + 18700 + 9024 + 4548}{92} = \frac{68604}{92} \approx 745,70 $ мм рт. ст.

Среднее значение, полученное по негруппированным данным, составляет $ \bar{x}_{негрупп} = 746,32 $ мм рт. ст.

Найдём абсолютное отличие между двумя средними:

$ |\bar{x}_{групп} - \bar{x}_{негрупп}| = |745,70 - 746,32| = |-0,62| = 0,62 $ мм рт. ст.

Теперь выразим это отличие в процентах от величины среднего давления, вычисленного по точным (негруппированным) данным:

$ \frac{0,62}{746,32} \times 100\% \approx 0,083\% $

Полученное различие составляет приблизительно $0,083\%$. Такое малое значение (значительно меньше $1\%$) говорит о том, что различие между величинами является несущественным.

Ответ: Отличие составляет примерно $0,083\%$. Это различие можно считать несущественным.

б) Расхождение между средними значениями, полученными без группировки и с группировкой данных, объясняется потерей точности исходной информации при её группировке.

При вычислении среднего по негруппированным данным (точное среднее) используются все исходные значения измерений. Это наиболее точный метод.

При работе со сгруппированными данными мы не знаем точных значений, попавших в каждый интервал. Вместо этого мы делаем допущение, что все значения внутри одного интервала можно заменить одним числом — серединой этого интервала. Например, все $8$ измерений в интервале 734–738 мм рт. ст. мы условно считаем равными $736$ мм рт. ст., хотя в действительности они могли быть распределены по интервалу неравномерно. Это допущение и вносит погрешность в итоговый результат. Среднее значение, вычисленное таким способом, является лишь оценкой, приближением к истинному среднему.

Ответ: Расхождение объясняется тем, что при группировке данных теряется информация о точных значениях величин, и для расчетов используются усредненные значения (середины интервалов), что вносит в результат небольшую погрешность.