Номер 113, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

113 Рассмотрите таблицу 42, где сгруппированы наблюдения атмосферного давления летом 2019 г. в Москве. По данным этой таблицы

а) с помощью теоремы (с. 60) оцените среднее значение атмосферного давления в Москве летом;

б) оцените медианное значение давления;

в) оцените количество летних дней, когда давление отличается от медианного не более чем на 10 мм рт. ст. в меньшую или в большую сторону.

Для решения задачи воспользуемся данными из таблицы 42, в которой сгруппированы наблюдения атмосферного давления в Москве летом 2019 года. Предполагается, что таблица имеет следующий вид:

а) Для оценки среднего значения атмосферного давления для сгруппированных данных используется формула выборочного среднего, которая является оценкой математического ожидания:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ — середина i-го интервала, $n_i$ — частота i-го интервала (число дней), $N$ — общее число наблюдений.

Сначала найдем общее число наблюдений (дней) летом: $N = 2+6+11+18+25+17+9+4 = 92$ дня.

Далее, для каждого интервала найдем его середину и умножим на соответствующую частоту. Просуммируем полученные значения:

• Интервал [720; 725): середина $x_1 = 722,5$. $x_1 n_1 = 722,5 \cdot 2 = 1445$.
• Интервал [725; 730): середина $x_2 = 727,5$. $x_2 n_2 = 727,5 \cdot 6 = 4365$.
• Интервал [730; 735): середина $x_3 = 732,5$. $x_3 n_3 = 732,5 \cdot 11 = 8057,5$.
• Интервал [735; 740): середина $x_4 = 737,5$. $x_4 n_4 = 737,5 \cdot 18 = 13275$.
• Интервал [740; 745): середина $x_5 = 742,5$. $x_5 n_5 = 742,5 \cdot 25 = 18562,5$.
• Интервал [745; 750): середина $x_6 = 747,5$. $x_6 n_6 = 747,5 \cdot 17 = 12707,5$.
• Интервал [750; 755): середина $x_7 = 752,5$. $x_7 n_7 = 752,5 \cdot 9 = 6772,5$.
• Интервал [755; 760): середина $x_8 = 757,5$. $x_8 n_8 = 757,5 \cdot 4 = 3032$.

Сумма произведений: $\sum x_i n_i = 1445 + 4365 + 8057,5 + 13275 + 18562,5 + 12707,5 + 6772,5 + 3032 = 68217$.

Теперь найдем среднее значение: $\bar{x} = \frac{68217}{92} \approx 741,49$ мм рт. ст.

Ответ: среднее значение атмосферного давления составляет примерно 741,49 мм рт. ст.

б) Для оценки медианного значения давления сначала определим медианный интервал. Объем выборки $N = 92$. Поскольку $N$ — четное число, медиана находится между значениями с номерами $\frac{N}{2} = 46$ и $\frac{N}{2}+1 = 47$.

Для поиска интервала, содержащего эти значения, рассчитаем накопленные (кумулятивные) частоты:

• до 725: 2
• до 730: $2+6=8$
• до 735: $8+11=19$
• до 740: $19+18=37$
• до 745: $37+25=62$

Накопленная частота до интервала [740; 745) равна 37, а включая его — 62. Следовательно, 46-е и 47-е значения попадают в интервал [740; 745). Это и есть медианный интервал.

Оценим медиану ($Me$) по формуле для интервального ряда данных:

$Me = L + w \frac{\frac{N}{2} - F}{f}$

где $L = 740$ — нижняя граница медианного интервала, $w = 5$ — ширина интервала, $N = 92$ — объем выборки, $F = 37$ — накопленная частота интервала, предшествующего медианному, $f = 25$ — частота медианного интервала.

Подставляем значения в формулу:

$Me = 740 + 5 \cdot \frac{\frac{92}{2} - 37}{25} = 740 + 5 \cdot \frac{46 - 37}{25} = 740 + 5 \cdot \frac{9}{25} = 740 + \frac{45}{25} = 740 + 1,8 = 741,8$ мм рт. ст.

Ответ: медианное значение давления составляет примерно 741,8 мм рт. ст.

в) Оценим количество летних дней, когда давление отличается от медианного ($Me \approx 741,8$ мм рт. ст.) не более чем на 10 мм рт. ст. в меньшую или в большую сторону.

Это соответствует диапазону давлений: $[741,8 - 10; 741,8 + 10]$, то есть $[731,8; 751,8]$.

Теперь оценим, сколько дней попадает в этот диапазон. Для этого будем считать, что наблюдения внутри каждого интервала распределены равномерно.

• Интервал [730; 735) (частота 11, ширина 5): в наш диапазон попадает его часть [731,8; 735) шириной $3,2$. Количество дней из этого интервала: $11 \cdot \frac{3,2}{5} = 7,04$.
• Интервал [735; 740) (частота 18): полностью входит в диапазон. Количество дней: 18.
• Интервал [740; 745) (частота 25): полностью входит в диапазон. Количество дней: 25.
• Интервал [745; 750) (частота 17): полностью входит в диапазон. Количество дней: 17.
• Интервал [750; 755) (частота 9, ширина 5): в наш диапазон попадает его часть [750; 751,8] шириной $1,8$. Количество дней из этого интервала: $9 \cdot \frac{1,8}{5} = 3,24$.

Суммарное количество дней: $7,04 + 18 + 25 + 17 + 3,24 = 70,28$.

Поскольку количество дней — это целое число, округляем полученный результат до ближайшего целого.

Ответ: примерно 70 дней.