Номер 115, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

115 Массив некоторых числовых данных сгруппировали шагом 10. По этим сгруппированным данным нашли среднее значение. Оно получилось равным $224,5$.

Можно ли утверждать, что настоящее среднее значение:

а) находится между $224$ и $225$;

б) больше, чем $220$;

в) меньше, чем $234,5$?

В какой промежуток истинное среднее значение попадает наверняка?

При вычислении среднего значения по сгруппированным данным используется середина каждого интервала в качестве представителя всех значений, попавших в этот интервал. Это вносит погрешность. Максимальная погрешность для каждого отдельного значения не превышает половины ширины интервала группировки.

В данном случае, ширина интервала (шаг группировки) $h = 10$. Среднее значение, вычисленное по сгруппированным данным, равно $\bar{x}_{групп} = 224.5$.

Максимальное отклонение истинного среднего значения ($\bar{x}_{ист}$) от сгруппированного среднего ограничено половиной шага группировки:

$|\bar{x}_{ист} - \bar{x}_{групп}| \le \frac{h}{2}$

Подставим известные значения:

$\frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Следовательно, истинное среднее значение находится в следующем диапазоне:

$\bar{x}_{групп} - 5 \le \bar{x}_{ист} \le \bar{x}_{групп} + 5$

$224.5 - 5 \le \bar{x}_{ист} \le 224.5 + 5$

$219.5 \le \bar{x}_{ист} \le 229.5$

Таким образом, мы можем гарантировать, что истинное среднее значение находится в промежутке $[219.5, 229.5]$. Теперь ответим на поставленные вопросы.

а) находится между 224 и 225

Это не обязательно так. Например, истинное среднее может быть равно 220 или 229. Оба этих значения входят в гарантированный промежуток $[219.5, 229.5]$, но не лежат между 224 и 225. Следовательно, утверждать это нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

б) больше, чем 220

Это не обязательно так. Истинное среднее может быть равно, например, 219.5, что не больше 220. Так как в гарантированный промежуток $[219.5, 229.5]$ входят значения, которые не больше 220, утверждать это нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

в) меньше, чем 234,5

Да, это можно утверждать. Максимально возможное значение для истинного среднего составляет 229.5. Любое значение в промежутке $[219.5, 229.5]$ строго меньше, чем 234.5, так как $229.5 < 234.5$.
Ответ: Да, можно.

В какой промежуток истинное среднее значение попадает наверняка?

Как мы рассчитали ранее, истинное среднее значение $\bar{x}_{ист}$ наверняка попадает в промежуток, границы которого отстоят от сгруппированного среднего не более чем на половину шага группировки. Таким образом, истинное среднее значение гарантированно находится в промежутке $[219.5, 229.5]$.
Ответ: В промежуток $[219.5, 229.5]$.