Номер 110, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

110 Ольге 18 лет, и её рост равен 172 см. Пользуясь диаграммой 28, оцените, сколько процентов Ольгиных сверстниц:

а) имеют примерно такой же рост;

б) не выше Ольги.

Для решения этой задачи используется диаграмма 28, представляющая собой график накопленных частот (огиву) распределения девушек 18-летнего возраста по росту. По горизонтальной оси отложен рост в сантиметрах, а по вертикальной — процент девушек, имеющих рост не больше указанного значения.

Из диаграммы можно считать следующие приблизительные значения:

• Росту 170 см соответствует 80% девушек (то есть 80% девушек имеют рост не выше 170 см).
• Росту 175 см соответствует 95% девушек (то есть 95% девушек имеют рост не выше 175 см).

Рост Ольги составляет 172 см, что находится в интервале между 170 см и 175 см. Для более точной оценки будем считать, что на этом небольшом участке график ведет себя как прямая линия, и воспользуемся линейной интерполяцией.

а) имеют примерно такой же рост;

Понятие «примерно такой же рост» является оценочным. Примем, что это означает рост в некотором небольшом диапазоне вокруг 172 см, например, от 171 см до 173 см. Наша задача — найти процент девушек, попадающих в этот интервал.

1. Сначала найдем, как быстро меняется процент девушек на каждый сантиметр роста в интересующем нас диапазоне (от 170 до 175 см). На этом участке длиной $175 - 170 = 5$ см процент увеличивается на $95\% - 80\% = 15\%$.

Скорость роста процента: $k = \frac{15\%}{5 \text{ см}} = 3\%$ на каждый сантиметр.

2. Теперь вычислим, какой процент девушек имеет рост не выше 171 см. Рост 171 см на 1 см больше, чем 170 см.

Процент(рост $\le$ 171 см) $\approx 80\% + 1 \text{ см} \cdot 3\%/\text{см} = 83\%$.

3. Аналогично вычислим процент девушек с ростом не выше 173 см. Рост 173 см на 3 см больше, чем 170 см.

Процент(рост $\le$ 173 см) $\approx 80\% + 3 \text{ см} \cdot 3\%/\text{см} = 89\%$.

4. Процент сверстниц с ростом в диапазоне от 171 см до 173 см равен разности этих двух значений:

$89\% - 83\% = 6\%$.

Таким образом, около 6% сверстниц Ольги имеют примерно такой же рост, как у нее.

Ответ: Примерно 6%.

б) не выше Ольги.

Найти процент сверстниц, которые «не выше Ольги», означает найти процент девушек с ростом, меньшим или равным 172 см. Это значение можно найти непосредственно по диаграмме, определив точку на кумулятивной кривой, соответствующую росту 172 см.

1. Воспользуемся ранее вычисленной скоростью роста процента: $k = 3\%/\text{см}$.

2. Рост Ольги (172 см) на 2 см больше, чем 170 см. Найдем соответствующий процент:

Процент(рост $\le$ 172 см) $\approx$ Процент(рост $\le$ 170 см) + $(172 \text{ см} - 170 \text{ см}) \cdot k$

Процент(рост $\le$ 172 см) $\approx 80\% + 2 \text{ см} \cdot 3\%/\text{см} = 80\% + 6\% = 86\%$.

Следовательно, примерно 86% сверстниц Ольги не выше неё ростом.

Ответ: Примерно 86%.