Номер 111, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

111 В архитектурном институте учится в общей сложности 450 студенток. Сколько примерно среди них девушек ростом 167–168 см? Сделайте оценку, используя данные:

а) таблицы 45;

б) диаграммы 28.

Сравните полученные числа. Можно ли считать их близкими? Какая из двух сделанных оценок, на ваш взгляд, с большей вероятностью ближе к истинной доле девушек указанного роста?

Для решения задачи необходимо сделать предположение о соотношении юношей и девушек в институте. Поскольку в условии эта информация отсутствует, будем считать, что количество девушек составляет половину от общего числа студентов.

Общее число студентов: 450.

Предполагаемое число девушек в институте: $450 / 2 = 225$.

а) Воспользуемся данными из таблицы 45, в которой представлено распределение 50 девушек по росту. Нас интересует интервал роста 167–168 см. В таблице этот диапазон является частью более широкого интервала от 166 до 170 см.

Согласно таблице, в интервал роста от 166 до 170 см (шириной $170 - 166 = 4$ см) попадают 8 девушек из 50. Ширина интересующего нас интервала (167–168 см) равна 1 см.

Предположим, что рост девушек внутри интервала [166, 170) распределен равномерно. Тогда количество девушек ростом 167–168 см в выборке можно оценить так:

$8 \cdot \frac{1 \text{ см}}{4 \text{ см}} = 2$ девушки.

Теперь найдем, какую долю (относительную частоту) эти девушки составляют от всей выборки в 50 человек:

$\frac{2}{50} = 0.04$

Применим эту долю к общему предполагаемому числу девушек в институте, чтобы получить оценку:

$225 \cdot 0.04 = 9$ девушек.

Ответ: примерно 9 девушек.

б) Воспользуемся данными диаграммы 28 — полигона частот распределения 1000 девушек по росту. Нас интересует тот же интервал роста 167–168 см.

На полигоне есть точка, соответствующая росту 168 см, с относительной частотой 0,27. В полигонах частот точки обычно соответствуют серединам интервалов. Если ширина интервала 4 см, то эта точка описывает интервал [166, 170). Это означает, что 27% девушек из выборки в 1000 человек имеют рост в этом интервале.

Примем допущение о равномерном распределении роста внутри этого интервала. Тогда относительная частота для интервала шириной 1 см (167–168 см) будет в 4 раза меньше, чем для всего интервала [166, 170):

$\frac{0.27}{4} = 0.0675$.

Это и есть искомая доля девушек ростом 167–168 см согласно данным диаграммы. Найдем их предполагаемое количество в институте:

$225 \cdot 0.0675 = 15.1875 \approx 15$ девушек.

Ответ: примерно 15 девушек.

Сравним полученные числа: 9 и 15. Эти числа нельзя считать очень близкими, так как разница между ними составляет 6, что является существенной величиной по отношению к самим оценкам.

Оценка, полученная с помощью диаграммы 28 (15 девушек), с большей вероятностью ближе к истинной. Это объясняется тем, что она основана на значительно большей выборке (1000 девушек), чем оценка, полученная из таблицы 45 (50 девушек). В статистике, согласно закону больших чисел, чем больше размер выборки, тем надежнее и точнее оценка, полученная на ее основе, и тем лучше она отражает характеристики всей генеральной совокупности.