Страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

209 Обычную симметричную монету бросают до выпадения первого орла. При первых пяти бросках выпала решка. Какое или какие из следующих утверждений верны?

1) Слишком много решек подряд быть не может, поэтому более вероятно, что в шестой раз выпадет орёл.

2) По какой-то причине в этом опыте решки имеют преимущество перед орлами. Более вероятно, что в следующий раз тоже выпадет решка.

3) При шестом броске орёл и решка имеют равные шансы, так же как они имели равные шансы при каждом из предыдущих бросков.

4) Более вероятно, что орёл случится при шестом броске, чем при седьмом.

Для решения этой задачи необходимо понимать два ключевых принципа теории вероятностей:

1. Независимость событий: Результат каждого следующего броска монеты не зависит от результатов предыдущих бросков. Монета не имеет "памяти".
2. Симметричность монеты: Указано, что монета "обычная симметричная", это означает, что вероятность выпадения орла (О) и решки (Р) одинакова и равна $1/2$ при каждом броске. $P(О) = P(Р) = 0.5$.

Исходя из этих принципов, проанализируем каждое утверждение.

1) Слишком много решек подряд быть не может, поэтому более вероятно, что в шестой раз выпадет орёл.
Это утверждение является классическим примером "ошибки игрока". Прошлые результаты (пять решек подряд) никак не влияют на результат шестого броска. Вероятность выпадения орла на шестом броске остается такой же, как и вероятность выпадения решки.
$P(О_6) = 0.5$
$P(Р_6) = 0.5$
Шансы равны, поэтому утверждение неверно.
Ответ: Утверждение неверно.

2) По какой-то причине в этом опыте решки имеют преимущество перед орлами. Более вероятно, что в следующий раз тоже выпадет решка.
Это утверждение предполагает, что наблюдаемая серия из пяти решек свидетельствует о несимметричности монеты. Однако в условии задачи прямо сказано, что монета симметричная. Серия из пяти решек — это случайное событие, которое, хоть и маловероятно (его вероятность $ (0.5)^5 = 1/32 $), но не меняет свойств самой монеты. Вероятность выпадения решки в следующий раз по-прежнему равна $0.5$.
Ответ: Утверждение неверно.

3) При шестом броске орёл и решка имеют равные шансы, так же как они имели равные шансы при каждом из предыдущих бросков.
Это утверждение абсолютно верно. Оно точно описывает свойство независимости испытаний. Для симметричной монеты вероятность выпадения орла или решки всегда составляет $0.5$ для любого броска, независимо от предыдущей истории.
$P(О_6) = P(Р_6) = 0.5$.
Ответ: Утверждение верно.

4) Более вероятно, что орёл случится при шестом броске, чем при седьмом.
Это утверждение сравнивает вероятности завершения эксперимента на шестом и седьмом шагах, при условии, что первые пять бросков были решками.
Вероятность того, что первый орёл выпадет на шестом броске, равна вероятности выпадения орла на этом броске:
$P(\text{первый орёл на 6-м броске}) = P(О_6) = 0.5$.
Чтобы первый орёл выпал на седьмом броске, необходимо, чтобы на шестом броске выпала решка, а на седьмом — орёл. Вероятность этой последовательности событий равна произведению их вероятностей:
$P(\text{первый орёл на 7-м броске}) = P(Р_6) \times P(О_7) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
Сравнивая эти две вероятности, мы видим, что $0.5 > 0.25$. Следовательно, действительно более вероятно, что эксперимент закончится на шестом броске, а не на седьмом. Утверждение верно.
Ответ: Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения 3 и 4.

210 Проведите эксперимент. Возьмите обычную монету и бросайте (лучше трясти её в пластиковом стаканчике и выбрасывать на ладонь) до тех пор, пока не выпадет орёл. Сколько бросков для этого потребовалось?

Проведите эксперимент 4–5 раз и запишите, сколько бросков вам пришлось делать каждый раз. Пусть это сделает каждый ученик в вашем классе. Соберите результаты в таблицу (мы для иллюстрации провели 50 таких экспериментов).

Таблица 4. Бросания монеты до первого орла

а) Что является элементарным событием в таком эксперименте?

б) Сколько элементарных событий в этом эксперименте?

в) Что происходит чаще — орёл выпадает с первой попытки или со второй?

г) Что происходит чаще — орёл выпадает со второй попытки или с третьей?

а) Что является элементарным событием в таком эксперименте?
Эксперимент состоит в бросании монеты до тех пор, пока не выпадет орёл. Элементарное событие — это один из возможных исходов такого эксперимента. Обозначим Орёл как «О», а Решку как «Р». Тогда возможные исходы (элементарные события) это:
- Выпал орёл на первом броске: (О)
- Выпал орёл на втором броске: (Р, О)
- Выпал орёл на третьем броске: (Р, Р, О)
- Выпал орёл на $k$-м броске: (Р, ..., Р, О), где «Р» повторяется $k-1$ раз.
Таким образом, элементарным событием является последовательность бросков, завершающаяся первым выпадением орла.
Ответ: Элементарным событием является выпадение первого орла на $k$-м броске.

б) Сколько элементарных событий в этом эксперименте?
Теоретически, последовательность решек перед первым орлом может быть сколь угодно длинной. Мы можем получить орла на первом, втором, третьем, ..., сотом, ..., $n$-м броске. Поскольку нет теоретического предела для числа $n$, количество возможных исходов (элементарных событий) бесконечно.
Ответ: Бесконечное множество.

в) Что происходит чаще — орёл выпадает с первой попытки или со второй?
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к данным в таблице.
- Число экспериментов, в которых орёл выпал с первой попытки: 26.
- Число экспериментов, в которых орёл выпал со второй попытки: 14.
Сравнивая эти значения, видим, что $26 > 14$. Следовательно, в данной серии экспериментов орёл чаще выпадал с первой попытки. Это согласуется с теорией вероятностей: вероятность выпадения орла с первой попытки равна $1/2$, а со второй (сначала решка, потом орёл) — $1/2 \cdot 1/2 = 1/4$. Так как $1/2 > 1/4$, первый исход более вероятен.
Ответ: Орёл выпадает с первой попытки.

г) Что происходит чаще — орёл выпадает со второй попытки или с третьей?
Снова обратимся к таблице.
- Число экспериментов, в которых орёл выпал со второй попытки: 14.
- Число экспериментов, в которых орёл выпал с третьей попытки: 6.
Поскольку $14 > 6$, в данных экспериментах орёл чаще выпадал со второй попытки, чем с третьей. Теоретически, вероятность выпадения орла со второй попытки равна $1/4$, а с третьей (две решки, потом орёл) — $1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2 = 1/8$. Так как $1/4 > 1/8$, второй исход более вероятен, чем третий.
Ответ: Орёл выпадает со второй попытки.

211 Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево эксперимента. Укажите в дереве событие $A$ и найдите его вероятность, если событие $A$ состоит в том, что:

а) потребуется ровно два броска;

б) три раза выпадает решка, на четвёртый раз — орёл;

в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз;

г) первые четыре броска окончатся решкой.

Обозначим выпадение орла буквой "О", а решки – "Р". Так как монета симметрична, вероятность выпадения орла $P(О) = \frac{1}{2}$, и вероятность выпадения решки $P(Р) = \frac{1}{2}$. Эксперимент заключается в подбрасывании монеты до тех пор, пока не выпадет орёл. Это означает, что как только выпадает орёл, серия бросков прекращается.

Дерево эксперимента представляет собой последовательность бросков. Каждый узел (бросок) имеет два возможных исхода: О (орёл) или Р (решка), каждый с вероятностью $\frac{1}{2}$. Ветвь дерева обрывается, как только на ней появляется "О".

• На первом шаге (1-й бросок):
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "О". Эксперимент завершается. Исход: О.
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "Р". Эксперимент продолжается.
• На втором шаге (2-й бросок, если первый был "Р"):
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "О". Эксперимент завершается. Исход: РО. Вероятность этого исхода: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "Р". Эксперимент продолжается.
• На третьем шаге (3-й бросок, если первые два были "РР"):
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "О". Эксперимент завершается. Исход: РРО. Вероятность этого исхода: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
  • С вероятностью $\frac{1}{2}$ выпадает "Р". Эксперимент продолжается.
• И так далее...

а) потребуется ровно два броска;

Событие A состоит в том, что орёл выпал впервые ровно на втором броске. Это означает, что первый бросок должен был быть решкой (Р), а второй – орлом (О). В дереве эксперимента этому соответствует ветвь, ведущая к исходу РО. Вероятность этого события вычисляется как произведение вероятностей независимых событий (первый бросок - решка И второй бросок - орёл): $P(A) = P(Р) \cdot P(О) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл;

Событие A состоит в том, что первые три броска были решками (РРР), а четвертый – орлом (О). В дереве эксперимента этому соответствует исход РРРО. Вероятность этого события: $P(A) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(О) = (\frac{1}{2})^3 \cdot \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз;

Событие A является объединением двух несовместных событий:
1. Орёл выпал в первый раз на третьем броске (исход РРО).
2. Орёл выпал в первый раз на четвертом броске (исход РРРО).
В дереве эксперимента это событие A соответствует двум конечным ветвям: РРО и РРРО. Найдём вероятности каждого из этих исходов:
$P(РРО) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
$P(РРРО) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Поскольку эти исходы несовместны, вероятность события A равна сумме их вероятностей: $P(A) = P(РРО) + P(РРРО) = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$.

г) первые четыре броска окончатся решкой.

Событие A состоит в том, что в первых четырех бросках выпала решка. Это последовательность РРРР. В дереве эксперимента это не конечный исход, а путь, после которого эксперимент продолжается (так как орёл ещё не выпал). Мы ищем вероятность именно этой последовательности из четырех бросков. Вероятность этой последовательности: $P(A) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Р) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

212 Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Найдите вероятность того, что к моменту выпадения орла будет сделано:

a) ровно 4 броска;

б) 2 или 3 броска;

в) больше 2 бросков;

г) не больше 3 бросков.

Пусть вероятность выпадения орла (О) равна $P(О) = 1/2$, а вероятность выпадения решки (Р) равна $P(Р) = 1/2$. Каждый бросок является независимым событием.

а) ровно 4 броска

Для того чтобы было сделано ровно 4 броска, необходимо, чтобы первые три раза выпала решка, а на четвертый раз — орёл. Последовательность исходов выглядит так: Р, Р, Р, О. Поскольку броски независимы, вероятность этой последовательности равна произведению вероятностей каждого исхода: $P(РРРО) = P(Р) \times P(Р) \times P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) 2 или 3 броска

Это событие означает, что орёл выпадет либо на втором, либо на третьем броске. Эти два события несовместны, поэтому их вероятности можно сложить.
Вероятность того, что будет сделано ровно 2 броска (последовательность Р, О): $P(\text{2 броска}) = P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Вероятность того, что будет сделано ровно 3 броска (последовательность Р, Р, О): $P(\text{3 броска}) = P(Р) \times P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Суммарная вероятность: $P(\text{2 или 3 броска}) = P(\text{2 броска}) + P(\text{3 броска}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

в) больше 2 бросков

Событие "сделано больше 2 бросков" означает, что эксперимент не закончился после второго броска. Это возможно только в том случае, если первые два броска были решками. Вероятность того, что первые два броска — решки (последовательность Р, Р): $P(РР) = P(Р) \times P(Р) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) не больше 3 бросков

Событие "сделано не больше 3 бросков" означает, что орёл выпал на первом, втором или третьем броске. Это объединение трёх несовместных событий.
$P(\text{1 бросок}) = P(О) = \frac{1}{2}$.
$P(\text{2 броска}) = P(РО) = \frac{1}{4}$.
$P(\text{3 броска}) = P(РРО) = \frac{1}{8}$.
Суммируя эти вероятности, получаем: $P(\text{не больше 3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Также можно решить задачу через противоположное событие. Противоположное событие — "сделано больше 3 бросков". Это произойдет, если первые три броска — решки (РРР). $P(\text{больше 3 бросков}) = P(РРР) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Тогда искомая вероятность: $P(\text{не больше 3 бросков}) = 1 - P(\text{больше 3 бросков}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$.

1 Что такое испытание Бернулли? Приведите примеры испытаний, помимо тех, что даны в учебнике.

Что такое испытание Бернулли?

Испытание Бернулли (или схема Бернулли) — это случайный эксперимент, который удовлетворяет строгому набору условий:

• Эксперимент имеет ровно два взаимоисключающих исхода. Условно их называют «успех» и «неудача».
• Вероятность «успеха», обозначаемая как $p$, является постоянной для каждого повторения эксперимента.
• Соответственно, вероятность «неудачи», обозначаемая как $q$, также постоянна и равна $q = 1 - p$.
• Все испытания независимы друг от друга, то есть исход одного испытания никак не влияет на исходы последующих.

Когда проводится серия из $n$ независимых испытаний Бернулли, количество «успехов» в этой серии описывается биномиальным распределением.

Примеры испытаний, помимо тех, что даны в учебнике

Вот несколько примеров испытаний, которые можно рассматривать как испытания Бернулли:

• Контроль качества продукции: Случайным образом выбирается одно изделие с конвейера для проверки.
  • «Успех»: изделие оказалось бракованным.
  • «Неудача»: изделие соответствует стандарту качества.
  • Вероятность успеха $p$ — это средняя доля брака в производстве.
• Спортивное состязание: Баскетболист выполняет один штрафной бросок.
  • «Успех»: мяч попал в корзину.
  • «Неудача»: игрок промахнулся.
  • Вероятность успеха $p$ — это статистический процент попаданий данного игрока.
• Медицинское исследование: Пациент принимает новое лекарство для лечения определенного заболевания.
  • «Успех»: пациент выздоровел или наблюдается значительное улучшение.
  • «Неудача»: лекарство не оказало эффекта.
  • Вероятность успеха $p$ — это эффективность препарата, установленная в ходе клинических испытаний.
• Тестирование с выбором ответа: Студент наугад отвечает на один вопрос теста, где только один ответ правильный.
  • «Успех»: выбран правильный ответ.
  • «Неудача»: выбран неверный ответ.
  • Если в вопросе 4 варианта ответа, то вероятность успеха $p = 1/4 = 0.25$.
• Интернет-маркетинг: Посетителю веб-сайта показывается рекламный баннер.
  • «Успех»: посетитель кликает по баннеру.
  • «Неудача»: посетитель игнорирует баннер.
  • Вероятность успеха $p$ — это средний показатель кликабельности (CTR) для этого баннера.

Ответ: Испытание Бернулли — это случайный эксперимент, имеющий ровно два исхода («успех» и «неудача») с постоянной вероятностью успеха $p$ для каждого независимого повторения. Примеры: проверка детали на брак, результат приёма лекарства, штрафной бросок в баскетболе, угадывание ответа в тесте, клик пользователя по рекламному баннеру.

2 Чему равна сумма вероятностей успеха и неудачи?

В теории вероятностей события "успех" и "неудача" являются противоположными (дополнительными) событиями. Это означает, что в результате некоторого испытания обязательно произойдет одно из этих двух событий, и они не могут произойти одновременно.

Пусть вероятность успеха некоторого события $A$ равна $P(A)$. В литературе ее часто обозначают как $p$.

Тогда событие "неудача" является противоположным событием $\bar{A}$ (не $A$), и его вероятность равна $P(\bar{A})$. Это значение часто обозначают как $q$.

По определению, полное пространство элементарных исходов в данном случае состоит только из этих двух событий: успех и неудача. Согласно одной из основных аксиом теории вероятностей, сумма вероятностей всех возможных исходов любого испытания всегда равна 1.

Следовательно, сумма вероятностей успеха и неудачи равна единице.

Математически это записывается так:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Или, используя более короткие обозначения:

$p + q = 1$

Например, если вероятность вытащить выигрышный билет (успех) равна 0.1, то вероятность вытащить проигрышный билет (неудача) будет равна $1 - 0.1 = 0.9$. Сумма этих вероятностей составляет $0.1 + 0.9 = 1$.

Ответ: 1.

3 Сколько элементарных событий в опыте «испытания до первого успеха»?

В опыте «испытания до первого успеха» элементарным событием является последовательность результатов испытаний, которая завершается первым успехом. Обозначим успех как 'У', а неудачу — 'Н'. Тогда возможные элементарные события таковы: успех мог произойти на первом испытании (исход У), или на втором (исход НУ), или на третьем (исход ННУ), и так далее. В общем виде, если первый успех произошел на $k$-ом испытании, то этому соответствует элементарное событие $\underbrace{НН\dots Н}_{k-1}У$, где первые $k-1$ испытаний были неудачными. Поскольку теоретически мы можем получать неудачу сколь угодно долго, прежде чем наступит успех, количество таких последовательностей не ограничено. Пространство элементарных событий $\Omega$ можно представить как множество $\Omega = \{У, НУ, ННУ, НННУ, \dots \}$. Каждому событию из этого множества можно сопоставить натуральное число $k \in \{1, 2, 3, \dots \}$, равное номеру испытания, на котором произошел первый успех. Так как множество натуральных чисел является бесконечным (счётным), то и количество элементарных событий в данном опыте является бесконечным (счётным).

Ответ: Бесконечное (счётное) множество.

4 Запишите формулу вероятность события «произошло восемь неудач, а при девятой попытке случился успех».

Для того чтобы записать формулу вероятности данного события, введем обозначения. Пусть $p$ — это вероятность «успеха» в одной попытке (испытании). Тогда вероятность «неудачи» в этой же попытке будет равна $q = 1 - p$.

Событие «произошло восемь неудач, а при девятой попытке случился успех» представляет собой конкретную последовательность из девяти независимых испытаний.

Поскольку все попытки являются независимыми событиями, вероятность того, что произойдет именно такая последовательность исходов (восемь неудач подряд, а затем один успех), равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Вероятность каждой из восьми неудач равна $q$. Вероятность девятого, успешного, исхода равна $p$.

Таким образом, искомая вероятность $P$ вычисляется как произведение вероятностей этих девяти последовательных исходов:

$P = \underbrace{q \cdot q \cdot \ldots \cdot q}_{8 \text{ раз}} \cdot p = q^8 p$

Так как $q = 1 - p$, мы можем выразить эту формулу через вероятность успеха $p$:

$P = (1-p)^8 p$

Ответ: $P = (1-p)^8 p$, где $p$ — вероятность успеха в одной попытке.