Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

222 Эксперимент состоит из четырёх последовательных испытаний Бернулли. Пользуясь обозначениями У для успеха и Н для неудачи, выпишите все элементарные события, в которых ровно:

а) 1 успех;

б) 2 успеха;

в) 3 успеха.

а) 1 успех
В последовательности из четырёх испытаний должен быть ровно один успех (У) и, соответственно, три неудачи (Н). Это означает, что успех может произойти в любом из четырёх испытаний. Количество таких элементарных событий равно числу сочетаний из 4 по 1: $C_4^1 = 4$.
Возможные события:
1. Успех в первом испытании: УННН
2. Успех во втором испытании: НУНН
3. Успех в третьем испытании: ННУН
4. Успех в четвёртом испытании: НННУ
Ответ: УННН, НУНН, ННУН, НННУ.

б) 2 успеха
В последовательности из четырёх испытаний должно быть ровно два успеха (У) и две неудачи (Н). Нам нужно выбрать 2 позиции для успехов из 4 возможных. Количество таких элементарных событий равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{4} = 6$.
Перечислим все эти события:
1. УУНН
2. УНУН
3. УННУ
4. НУУН
5. НУНУ
6. ННУУ
Ответ: УУНН, УНУН, УННУ, НУУН, НУНУ, ННУУ.

в) 3 успеха
В последовательности из четырёх испытаний должно быть ровно три успеха (У) и одна неудача (Н). Это эквивалентно выбору одной позиции для неудачи из четырёх возможных. Количество таких элементарных событий равно числу сочетаний из 4 по 3: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
Возможные события:
1. Неудача в последнем испытании: УУУН
2. Неудача в третьем испытании: УУНУ
3. Неудача во втором испытании: УНУУ
4. Неудача в первом испытании: НУУУ
Ответ: УУУН, УУНУ, УНУУ, НУУУ.

223 Пользуясь результатами задачи 222, перечертите в тетрадь и заполните таблицу 6, в которой указано, сколько может быть элементарных событий без успехов, с одним успехом, с двумя успехами и т. д. в серии из четырёх испытаний Бернулли.

Таблица 6. Элементарные события в серии из четырёх испытаний

Для решения данной задачи необходимо найти число благоприятствующих элементарных событий для каждого возможного числа успехов в серии из четырех независимых испытаний (испытаний Бернулли). Элементарное событие — это конкретная последовательность из четырех исходов, где каждый исход может быть либо успехом (У), либо неуспехом (Н).

Чтобы найти количество способов, которыми можно получить ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях, используется формула для числа сочетаний (биномиальный коэффициент):

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество испытаний $n = 4$. Проведем расчеты для каждого числа успехов $k$ от 0 до 4.

Без успехов (0 успехов)

Это случай, когда все четыре испытания завершаются неуспехом. Существует только одна такая последовательность исходов: НННН.
Рассчитаем по формуле, где $k=0$:
$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{1 \cdot 4!} = 1$

Ответ: 1

С одним успехом

Это случай, когда одно испытание успешно, а остальные три — нет. Успех может произойти на любой из четырех позиций. Возможные последовательности: УННН, НУНН, ННУН, НННУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=1$:
$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1 \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4$

Ответ: 4

С двумя успехами

Это случай, когда два испытания успешны, а два — нет. Нужно найти количество способов выбрать две позиции для успехов из четырех. Возможные последовательности: УУНН, УНУН, УННУ, НУУН, НУНУ, ННУУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=2$:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$

Ответ: 6

С тремя успехами

Это случай, когда три испытания успешны, а одно — нет. Это симметрично случаю с одним успехом (здесь мы выбираем позицию для одного неуспеха). Возможные последовательности: УУУН, УУНУ, УНУУ, НУУУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=3$:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4$

Ответ: 4

С четырьмя успехами

Это случай, когда все четыре испытания успешны. Существует только одна такая последовательность: УУУУ.
Рассчитаем по формуле, где $k=4$:
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4! \cdot 0!} = \frac{4!}{4! \cdot 1} = 1$

Ответ: 1

Теперь заполним таблицу, используя полученные результаты.

224 Эксперимент состоит из пяти последовательных испытаний Бернулли. Пользуясь обозначениями У и Н для успеха и неудачи, выпишите все элементарные события, в которых ровно:

a) 0 успехов;

б) 1 успех;

в) 2 успеха.

а) 0 успехов
Если в пяти последовательных испытаниях нет ни одного успеха (У), это означает, что все пять испытаний закончились неудачей (Н). Существует только одна такая комбинация.
Ответ: ННННН.

б) 1 успех
Если в пяти испытаниях ровно один успех (У), то этот успех может произойти на любом из пяти мест (в первом, втором, третьем, четвертом или пятом испытании). Остальные четыре испытания будут неудачами (Н). Количество таких событий равно числу сочетаний из 5 по 1, то есть $C_5^1 = 5$.
Элементарные события:

• Успех на 1-м месте: УНННН
• Успех на 2-м месте: НУННН
• Успех на 3-м месте: ННУНН
• Успех на 4-м месте: НННУН
• Успех на 5-м месте: ННННУ

Ответ: УНННН, НУННН, ННУНН, НННУН, ННННУ.

в) 2 успеха
Если в пяти испытаниях ровно два успеха (У), нам нужно выбрать 2 позиции для успехов из 5 возможных. Остальные три позиции будут заняты неудачами (Н). Общее количество таких событий равно числу сочетаний из 5 по 2: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Перечислим все эти события, систематически располагая два успеха (У):

• УУННН
• УНУНН
• УННУН
• УНННУ
• НУУНН
• НУНУН
• НУННУ
• ННУУН
• ННУНУ
• НННУУ

Ответ: УУННН, УНУНН, УННУН, УНННУ, НУУНН, НУНУН, НУННУ, ННУУН, ННУНУ, НННУУ.

225 Игральную кость бросают 4 раза. Найдите вероятность события, состоящего в том, что шестёрка выпадет:

а) только при первом и третьем бросках;

б) только при втором броске;

в) ровно 3 раза — при первом, втором и четвёртом бросках.

Для решения задачи определим вероятности элементарных событий. При броске стандартной игральной кости (с 6 гранями) есть 6 равновозможных исходов.

Вероятность выпадения шестёрки (благоприятный исход) при одном броске равна $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность того, что шестёрка не выпадет (выпадет любое другое число от 1 до 5), равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Поскольку все 4 броска являются независимыми событиями, вероятность комбинации исходов равна произведению вероятностей каждого из них.

а) только при первом и третьем бросках

Это означает, что при первом броске выпала шестёрка, при втором — не шестёрка, при третьем — шестёрка, и при четвёртом — не шестёрка. Вероятность такой последовательности событий равна:

$P(\text{а}) = p \times q \times p \times q = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{1 \times 5 \times 1 \times 5}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{25}{1296}$.

Ответ: $\frac{25}{1296}$.

б) только при втором броске

Это означает, что при первом броске шестёрка не выпала, при втором — выпала, при третьем и четвёртом — снова не выпала. Вероятность этой последовательности равна:

$P(\text{б}) = q \times p \times q \times q = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5 \times 1 \times 5 \times 5}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{125}{1296}$.

Ответ: $\frac{125}{1296}$.

в) ровно 3 раза — при первом, втором и четвёртом бросках

Это означает, что при первом, втором и четвёртом бросках выпала шестёрка, а при третьем — не выпала. Вероятность такой последовательности событий равна:

$P(\text{в}) = p \times p \times q \times p = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1 \times 1 \times 5 \times 1}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{5}{1296}$.

Ответ: $\frac{5}{1296}$.

226 Миша кидает мяч в баскетбольное кольцо. Вероятность попадания равна $p = \frac{1}{3}$. Найдите вероятность того, что, сделав 5 бросков, Миша попадёт в кольцо только при втором и четвёртом бросках.

Для решения задачи определим вероятности двух исходов для каждого броска: попадание и промах.

Вероятность попадания (успеха) дана в условии: $p = \frac{1}{3}$.

События "попадание" и "промах" являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Вероятность промаха (неудачи) $q$ можно вычислить как: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Нам нужно найти вероятность наступления конкретной последовательности из пяти событий:

• 1-й бросок: промах (вероятность $q = \frac{2}{3}$)
• 2-й бросок: попадание (вероятность $p = \frac{1}{3}$)
• 3-й бросок: промах (вероятность $q = \frac{2}{3}$)
• 4-й бросок: попадание (вероятность $p = \frac{1}{3}$)
• 5-й бросок: промах (вероятность $q = \frac{2}{3}$)

Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что они произойдут в заданной последовательности, равна произведению вероятностей каждого из этих событий.

Вычислим искомую вероятность $P$:
$P = q \cdot p \cdot q \cdot p \cdot q = (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{3}) \cdot (\frac{2}{3})$

Сгруппируем множители и выполним вычисления:
$P = (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3 = \frac{1^2}{3^2} \cdot \frac{2^3}{3^3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{27} = \frac{1 \cdot 8}{9 \cdot 27} = \frac{8}{243}$

Ответ: $\frac{8}{243}$