Страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Какими должны быть испытания, чтобы получилась серия испытаний Бернулли?

1. Какими должны быть испытания, чтобы получилась серия испытаний Бернулли?

Для того чтобы последовательность испытаний считалась серией испытаний Бернулли (или схемой Бернулли), она должна удовлетворять трем основным условиям:

1. Независимость испытаний. Результат каждого испытания не должен зависеть от результатов предыдущих или последующих испытаний. Например, при подбрасывании монеты результат второго броска не зависит от результата первого.

2. Два возможных исхода. Каждое испытание должно иметь ровно два взаимоисключающих исхода. Условно их называют «успех» и «неудача». Например, при броске игрального кубика «успехом» можно считать выпадение шестерки, а «неудачей» — выпадение любого другого числа.

3. Постоянство вероятности успеха. Вероятность «успеха», обозначаемая как $p$, должна быть одинаковой для всех испытаний в серии. Следовательно, вероятность «неудачи», обозначаемая как $q$, также постоянна и равна $q = 1 - p$. В примере с игральным кубиком вероятность «успеха» (выпадение шестерки) всегда равна $p = 1/6$.

Ответ: Испытания должны быть независимыми друг от друга, каждое испытание должно иметь ровно два возможных исхода («успех» и «неудача»), и вероятность «успеха» $p$ должна быть постоянной для всех испытаний.

2 Сколько возможных элементарных событий у одного испытания Бернулли? Как они называются?

Сколько возможных элементарных событий у одного испытания Бернулли?

Испытание Бернулли — это случайный эксперимент, который имеет ровно два возможных исхода. Эти исходы являются взаимоисключающими, то есть в результате одного испытания не могут наступить оба исхода одновременно. Также эти два исхода составляют полную группу событий, что означает, что никакой другой исход в данном испытании невозможен.

Следовательно, у одного испытания Бернулли есть только два возможных элементарных события.

Ответ: 2.

Как они называются?

Два возможных элементарных события в испытании Бернулли принято называть «успех» и «неудача».

«Успех» — это условное название того исхода, наступление которого отслеживается в задаче. Вероятность «успеха» в одном испытании обозначается как $p$.

«Неудача» — это противоположный «успеху» исход. Вероятность «неудачи» обозначается как $q$.

Поскольку «успех» и «неудача» — единственные возможные исходы, сумма их вероятностей всегда равна единице: $p + q = 1$.

Например, при подбрасывании монеты, если «успехом» считать выпадение орла, то «неудачей» будет выпадение решки. Для симметричной монеты $p = 0.5$ и $q = 0.5$.

Ответ: «Успех» и «неудача».

3 Пользуясь обозначениями У и Н, выпишите все элементарные события, которые могут наступить в серии из двух и из трёх испытаний Бернулли.

Испытание Бернулли — это случайный эксперимент, у которого есть ровно два возможных исхода. В данном случае эти исходы обозначаются как У (успех) и Н (неудача). Элементарное событие в серии испытаний — это одна из возможных последовательностей исходов.

Серия из двух испытаний Бернулли

В серии из двух независимых испытаний каждое испытание может закончиться либо успехом (У), либо неудачей (Н). Общее число элементарных событий равно произведению числа исходов в каждом испытании, то есть $2 \times 2 = 2^2 = 4$.

Все элементарные события (возможные последовательности):

1. УУ (оба испытания — успех)

2. УН (первое — успех, второе — неудача)

3. НУ (первое — неудача, второе — успех)

4. НН (оба испытания — неудача)

Ответ: УУ, УН, НУ, НН.

Серия из трёх испытаний Бернулли

Аналогично, в серии из трёх испытаний общее число элементарных событий будет равно $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Все элементарные события (возможные последовательности):

УУУ, УУН, УНУ, УНН, НУУ, НУН, ННУ, ННН.

Ответ: УУУ, УУН, УНУ, УНН, НУУ, НУН, ННУ, ННН.

4 Каким соотношением связаны вероятности успеха и неудачи?

4

Вероятности успеха и неудачи являются вероятностями двух противоположных (или взаимодополняющих) событий. В теории вероятностей это означает, что в результате одного случайного испытания может произойти либо "успех", либо "неудача", и никакие другие исходы невозможны. Эти два события не могут произойти одновременно.

Обычно вероятность успеха обозначается буквой $p$, а вероятность неудачи — буквой $q$.

Поскольку "успех" и "неудача" образуют полную группу событий (то есть, в результате испытания обязательно произойдет одно из них), сумма их вероятностей всегда равна 1. Это фундаментальное свойство для противоположных событий.

Математически это соотношение записывается следующей формулой: $$p + q = 1$$

Из этой формулы можно выразить вероятность одного события через другое. Вероятность успеха равна единице минус вероятность неудачи: $p = 1 - q$. Соответственно, вероятность неудачи равна единице минус вероятность успеха: $q = 1 - p$.

Например, если вероятность выигрыша в лотерею ("успех") составляет $p = 0.01$, то вероятность проигрыша ("неудача") будет $q = 1 - p = 1 - 0.01 = 0.99$.

Ответ: Вероятность успеха ($p$) и вероятность неудачи ($q$) связаны соотношением $p + q = 1$.

5 Что является элементарным событием в серии из пяти испытаний Бернулли?

Серия испытаний Бернулли (или схема Бернулли) представляет собой последовательность независимых случайных экспериментов, каждый из которых имеет ровно два возможных исхода. Эти исходы условно называют «успех» и «неудача». Вероятность «успеха», обозначаемая как $p$, и вероятность «неудачи», $q = 1-p$, одинаковы для каждого испытания.

В данном вопросе рассматривается серия из пяти таких испытаний ($n=5$).

Элементарное событие (или элементарный исход) в теории вероятностей — это один из возможных, неразложимых на более простые, результатов случайного эксперимента. Пространство элементарных событий — это множество всех таких исходов.

Поскольку наш эксперимент состоит из пяти последовательных независимых испытаний, его полный результат представляет собой упорядоченную последовательность из пяти исходов, где на каждом месте стоит либо «успех», либо «неудача».

Таким образом, элементарным событием в серии из пяти испытаний Бернулли является конкретная последовательность из пяти результатов.

Например, если обозначить «успех» символом 1, а «неудачу» — символом 0, то элементарными событиями будут последовательности (кортежи) длины 5:

• (1, 1, 1, 1, 1) — означает, что все пять испытаний закончились «успехом».
• (0, 0, 0, 0, 0) — означает, что все пять испытаний закончились «неудачей».
• (1, 0, 1, 0, 0) — означает, что первое и третье испытания были «успешными», а второе, четвертое и пятое — «неудачными».

Каждая такая уникальная последовательность является одним элементарным событием. Общее количество таких элементарных событий в пространстве исходов для пяти испытаний равно $2^5 = 32$.

Ответ: Элементарным событием в серии из пяти испытаний Бернулли является конкретная упорядоченная последовательность (кортеж) из пяти исходов, где каждый исход в последовательности — это «успех» или «неудача».