Страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

213 В испытании Бернулли известна вероятность успеха $p$. Найдите вероятность неудачи $q$, если вероятность успеха $p$ равна:

а) $1/4$;

б) $0,02$;

в) $2/7$;

г) $0,83$.

В испытании Бернулли рассматриваются только два исхода: «успех» и «неудача». Эти два события являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Если $p$ — это вероятность успеха, а $q$ — вероятность неудачи, то справедливо следующее соотношение:

$p + q = 1$

Из этой формулы можно выразить вероятность неудачи $q$:

$q = 1 - p$

Используем эту формулу для решения каждого пункта задачи.

а) Дана вероятность успеха $p = \frac{1}{4}$.

Находим вероятность неудачи $q$:

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Дана вероятность успеха $p = 0,02$.

Находим вероятность неудачи $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,02 = 0,98$

Ответ: $0,98$.

в) Дана вероятность успеха $p = \frac{2}{7}$.

Находим вероятность неудачи $q$:

$q = 1 - p = 1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$.

г) Дана вероятность успеха $p = 0,83$.

Находим вероятность неудачи $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,83 = 0,17$

Ответ: $0,17$.

214 Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Найдите вероятность того, что будет сделано:

а) ровно 2 броска;

б) ровно 3 броска;

в) ровно 6 бросков;

г) не более 4 бросков.

Для решения данной задачи по теории вероятностей определим основные вероятности. Бросается стандартная игральная кость с шестью гранями.

Вероятность выпадения шестёрки (назовем это событие "успех") при одном броске равна $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность того, что шестёрка не выпадет (назовем это событие "неудача"), равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Каждый бросок является независимым событием.

а) ровно 2 броска;

Чтобы было сделано ровно 2 броска, необходимо, чтобы при первом броске произошла "неудача" (не выпала шестёрка), а при втором — "успех" (выпала шестёрка). Вероятность этой последовательности событий равна произведению вероятностей этих независимых событий.

$P(2) = q \cdot p = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$.

б) ровно 3 броска;

Чтобы было сделано ровно 3 броска, необходимо, чтобы первые два броска были "неудачами", а третий — "успехом".

$P(3) = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.

Ответ: $\frac{25}{216}$.

в) ровно 6 бросков;

Чтобы было сделано ровно 6 бросков, необходимо, чтобы первые пять бросков были "неудачами", а шестой — "успехом".

$P(6) = q^5 \cdot p = (\frac{5}{6})^5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{7776} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{46656}$.

Ответ: $\frac{3125}{46656}$.

г) не более 4 бросков.

Событие "сделано не более 4 бросков" означает, что "успех" (выпадение шестёрки) произошел на первом, или на втором, или на третьем, или на четвёртом броске. Эти четыре исхода являются несовместными событиями, поэтому их вероятности можно сложить.

$P(\text{не более 4}) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)$.

Вычислим каждую вероятность:

$P(1) = p = \frac{1}{6}$

$P(2) = q \cdot p = \frac{5}{36}$

$P(3) = q^2 \cdot p = \frac{25}{216}$

$P(4) = q^3 \cdot p = (\frac{5}{6})^3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{125}{216} \cdot \frac{1}{6} = \frac{125}{1296}$

Теперь сложим эти вероятности, приведя их к общему знаменателю 1296:

$P(\text{не более 4}) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} = \frac{1 \cdot 216}{1296} + \frac{5 \cdot 36}{1296} + \frac{25 \cdot 6}{1296} + \frac{125}{1296} = \frac{216 + 180 + 150 + 125}{1296} = \frac{671}{1296}$.

Альтернативный способ:

Событие "сделано не более 4 бросков" является противоположным событию "в первых 4 бросках шестёрка ни разу не выпала". Вероятность того, что в первых 4 бросках шестёрка не выпадет, равна $q^4$.

$P(\text{4 неудачи подряд}) = q^4 = (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$.

Тогда искомая вероятность равна разности единицы и вероятности противоположного события:

$P(\text{не более 4}) = 1 - P(\text{4 неудачи подряд}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$.

Ответ: $\frac{671}{1296}$.

215 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $p = 0,6$. Найдите вероятность того, что стрелку потребуется:

а) ровно 5 попыток;

б) от 2 до 4 попыток.

Пусть событие A — стрелок попал в мишень, а событие B — стрелок промахнулся. По условию задачи, вероятность попадания (событие A) при каждом выстреле равна $p = P(A) = 0.6$. Следовательно, вероятность промаха (событие B) равна $q = P(B) = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$. События (выстрелы) являются независимыми.

а) ровно 5 попыток

Стрелку потребуется ровно 5 попыток, если он 4 раза подряд промахнется и на 5-й раз попадет. Это последовательность событий: промах, промах, промах, промах, попадание. Вероятность такой последовательности, так как выстрелы независимы, равна произведению вероятностей этих событий:
$P(5) = q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot p = q^4 \cdot p$
Подставим значения $p$ и $q$:
$P(5) = (0.4)^4 \cdot 0.6 = 0.0256 \cdot 0.6 = 0.01536$
Ответ: 0.01536

б) от 2 до 4 попыток

Стрелку потребуется от 2 до 4 попыток, если он попадет со 2-й, или с 3-й, или с 4-й попытки. Эти события несовместны, поэтому их вероятности нужно сложить.
1. Вероятность того, что потребуется 2 попытки (промах, попадание):
$P(2) = q \cdot p = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$
2. Вероятность того, что потребуется 3 попытки (промах, промах, попадание):
$P(3) = q^2 \cdot p = (0.4)^2 \cdot 0.6 = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096$
3. Вероятность того, что потребуется 4 попытки (промах, промах, промах, попадание):
$P(4) = q^3 \cdot p = (0.4)^3 \cdot 0.6 = 0.064 \cdot 0.6 = 0.0384$
Суммарная вероятность равна:
$P(\text{от 2 до 4}) = P(2) + P(3) + P(4) = 0.24 + 0.096 + 0.0384 = 0.3744$
Ответ: 0.3744

216 Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна $p$, а вероятность неудачи равна $q = 1 - p$. Найдите вероятность события (выразите её через $p$ и $q$), заключающегося в том, что:

а) «успех случится при втором испытании»;

б) «успех случится позже четвёртого испытаний»;

в) «успех случится не позже шестого испытания»;

г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».

а) «успех случится при втором испытании»

Событие «успех случится при втором испытании» означает, что первое испытание было неудачным (вероятность этого равна $q$), а второе — успешным (вероятность $p$). Поскольку испытания являются независимыми, мы можем перемножить их вероятности.

Вероятность этого события равна: $q \cdot p$.

Ответ: $qp$.

б) «успех случится позже четвёртого испытания»

Событие «успех случится позже четвёртого испытания» означает, что первые четыре испытания закончились неудачей. Вероятность неудачи в одном отдельном испытании равна $q$.

Так как все испытания независимы, вероятность того, что первые четыре испытания будут неудачными, равна произведению их вероятностей: $q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4$.

Ответ: $q^4$.

в) «успех случится не позже шестого испытания»

Событие «успех случится не позже шестого испытания» означает, что успех произойдет на одном из испытаний с первого по шестое включительно. Для решения этой задачи удобнее найти вероятность противоположного события и вычесть её из единицы.

Противоположное событие — «успех случится позже шестого испытания». Это эквивалентно тому, что первые шесть испытаний были неудачными. Вероятность этого события равна $q^6$.

Следовательно, искомая вероятность равна: $1 - q^6$.

Этот же результат можно получить прямым суммированием вероятностей успеха на 1-м, 2-м, ..., 6-м испытании: $P(\text{успех на 1-6}) = \sum_{k=1}^{6} q^{k-1}p = p(1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5)$. Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии и тот факт, что $1-q=p$, получаем: $p \frac{1-q^6}{1-q} = p \frac{1-q^6}{p} = 1 - q^6$.

Ответ: $1 - q^6$.

г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний»

Данное событие означает, что успех случится либо на третьем, либо на четвертом, либо на пятом испытании. Так как эти три исхода являются несовместными событиями, общая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

Вероятность успеха на 3-м испытании (две неудачи, затем успех) равна $q^2p$.
Вероятность успеха на 4-м испытании (три неудачи, затем успех) равна $q^3p$.
Вероятность успеха на 5-м испытании (четыре неудачи, затем успех) равна $q^4p$.

Искомая вероятность равна сумме этих вероятностей:

$q^2p + q^3p + q^4p$

Это выражение можно упростить. Вынесем общий множитель $q^2p$: $q^2p(1 + q + q^2)$. Используя формулу для суммы геометрической прогрессии $1+q+q^2 = \frac{1-q^3}{1-q}$ и то, что $1-q=p$, получаем альтернативную форму ответа: $q^2p \cdot \frac{1-q^3}{p} = q^2(1-q^3) = q^2 - q^5$.

Ответ: $q^2p + q^3p + q^4p$ (или $q^2 - q^5$).

217 Сергей отправляет СМС-сообщение другу. Связь неустойчивая, поэтому каждая попытка отправить СМС имеет вероятность успеха $0,3$. Найдите вероятность того, что СМС будет отправлено:

а) со второй попытки;

б) не позже, чем при шестой попытке.

Обозначим вероятность успеха (СМС отправлено) как $p$, а вероятность неудачи (СМС не отправлено) как $q$.
По условию задачи, вероятность успеха одной попытки $p = 0,3$.
Вероятность неудачи является противоположным событием, поэтому $q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7$.
Каждая попытка отправки является независимым событием.

а) со второй попытки

Событие "СМС будет отправлено со второй попытки" означает, что первая попытка была неудачной, а вторая — успешной.
Так как попытки независимы, вероятность этой последовательности событий равна произведению их вероятностей:
$P(A) = q \cdot p = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21$.
Ответ: 0,21.

б) не позже, чем при шестой попытке

Событие "СМС будет отправлено не позже, чем при шестой попытке" означает, что оно будет отправлено с первой, или со второй, ..., или с шестой попытки.
Проще найти вероятность противоположного события: "СМС не будет отправлено за шесть попыток".
Это произойдет, если все шесть попыток окажутся неудачными. Вероятность этого события равна:
$P(\text{6 неудач}) = q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = q^6 = (0,7)^6$.
Вычислим это значение: $(0,7)^6 = 0,117649$.
Искомая вероятность является вероятностью события, противоположного событию "6 неудач подряд". Следовательно, она равна:
$P(B) = 1 - P(\text{6 неудач}) = 1 - q^6 = 1 - (0,7)^6 = 1 - 0,117649 = 0,882351$.
Ответ: 0,882351.

218 Вероятность того, что новый мобильный телефон выйдет из строя в течение первого года работы, равна 0,2. Если телефон проработал какое-то время, то вероятность его поломки в течение следующего года такая же (в телефоне нет изнашивающихся деталей, поэтому вероятность его поломки не растёт со временем). Найдите вероятность того, что новый телефон выйдет из строя:

a) на четвёртый год службы;

б) не позже чем через три года после покупки.

Пусть вероятность того, что телефон выйдет из строя в течение любого года (при условии, что он работал в начале года), равна $p$. По условию, $p = 0,2$.
Тогда вероятность того, что телефон проработает год и не сломается, равна $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$.
События, связанные с работой телефона в разные годы, являются независимыми.

а) на четвёртый год службы;

Для того чтобы телефон вышел из строя именно на четвёртый год службы, должны произойти следующие независимые события: он должен успешно проработать первые три года и сломаться на четвёртый.

Вероятность того, что телефон проработает первые три года, равна произведению вероятностей того, что он проработает каждый из этих годов:
$P(\text{работа 3 года}) = q \times q \times q = q^3 = (0,8)^3 = 0,512$.

Искомая вероятность – это вероятность того, что телефон проработает 3 года и после этого сломается на четвёртый год:
$P(\text{поломка на 4-й год}) = P(\text{работа 3 года}) \times P(\text{поломка в 4-м году}) = q^3 \times p = (0,8)^3 \times 0,2 = 0,512 \times 0,2 = 0,1024$.

Ответ: 0,1024

б) не позже чем через три года после покупки.

Событие "телефон выйдет из строя не позже чем через три года" означает, что он сломается либо в первый год, либо во второй, либо в третий. Это событие является противоположным событию "телефон проработает все три года без поломок". Вычислить вероятность противоположного события и вычесть ее из 1 проще.

Сначала найдем вероятность противоположного события: "телефон проработает все три года".
Вероятность того, что телефон проработает все три года, равна произведению вероятностей того, что он будет работать каждый год:
$P(\text{работа 3 года}) = q \times q \times q = q^3 = (0,8)^3 = 0,512$.

Искомая вероятность (что телефон сломается в течение первых трёх лет) равна разности между 1 и вероятностью того, что он проработает все три года:
$P(\text{поломка в течение 3 лет}) = 1 - P(\text{работа 3 года}) = 1 - 0,512 = 0,488$.

Ответ: 0,488

219 Вероятность того, что новый планшет выйдет из строя в течение года после покупки, равна 0,1. Если планшет проработал несколько лет, то вероятность его поломки в течение следующего года такая же. Найдите вероятность того, что новый планшет выйдет из строя:

а) на третий год службы;

б) прослужит больше 3, но не больше 5 лет.

По условию задачи, вероятность выхода планшета из строя в течение любого года службы (при условии, что он работал до этого) является постоянной величиной. Обозначим эту вероятность как $p$.

$p = 0,1$

Тогда вероятность того, что планшет проработает год и не сломается, равна $q$. Эта вероятность является противоположной вероятности $p$.

$q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$

а) на третий год службы;

Событие "планшет выйдет из строя на третий год службы" означает, что он должен успешно проработать первые два года и сломаться на третий год. Поскольку события, происходящие в разные годы, независимы, мы можем перемножить их вероятности.

Вероятность проработать первый год: $q = 0,9$.

Вероятность проработать второй год (при условии, что он проработал первый): $q = 0,9$.

Вероятность сломаться на третий год (при условии, что он проработал два года): $p = 0,1$.

Искомая вероятность $P_a$ равна произведению этих вероятностей:

$P_a = q \times q \times p = q^2 \times p = 0,9^2 \times 0,1 = 0,81 \times 0,1 = 0,081$

Ответ: 0,081

б) прослужит больше 3, но не больше 5 лет.

Событие "планшет прослужит больше 3, но не больше 5 лет" означает, что он выйдет из строя либо на четвертый год, либо на пятый год службы. Эти два события являются несовместными, поэтому искомую вероятность можно найти как сумму их вероятностей.

1. Найдем вероятность того, что планшет выйдет из строя на четвертый год. Для этого он должен проработать первые три года и сломаться на четвертый:

$P(\text{поломка на 4-й год}) = q \times q \times q \times p = q^3 \times p = 0,9^3 \times 0,1 = 0,729 \times 0,1 = 0,0729$

2. Найдем вероятность того, что планшет выйдет из строя на пятый год. Для этого он должен проработать первые четыре года и сломаться на пятый:

$P(\text{поломка на 5-й год}) = q \times q \times q \times q \times p = q^4 \times p = 0,9^4 \times 0,1 = 0,6561 \times 0,1 = 0,06561$

3. Сложим эти вероятности, чтобы найти итоговую вероятность $P_b$:

$P_b = P(\text{поломка на 4-й год}) + P(\text{поломка на 5-й год}) = 0,0729 + 0,06561 = 0,13851$

Ответ: 0,13851

220 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $p = 0,4$. Сколько патронов должен иметь стрелок перед началом стрельбы, чтобы поразить мишень с вероятностью не менее $0,9$?

Пусть $n$ — искомое количество патронов, которое должен иметь стрелок. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле, согласно условию, составляет $p = 0.4$.

Тогда вероятность промаха при одном выстреле равна $q$:
$q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Событие "поразить мишень с $n$ патронами" означает, что стрелок попадет в мишень хотя бы один раз из $n$ выстрелов. Проще найти вероятность противоположного события — "стрелок промахнется все $n$ раз".

Так как все выстрелы являются независимыми событиями, вероятность промахнуться $n$ раз подряд равна произведению вероятностей каждого промаха:$P(\text{n промахов}) = q^n = (0.6)^n$.

Вероятность поразить мишень (то есть совершить хотя бы одно попадание) является противоположной событию "промахнуться все $n$ раз". Следовательно, её можно вычислить как:$P(\text{поразить мишень}) = 1 - P(\text{n промахов}) = 1 - (0.6)^n$.

По условию задачи, эта вероятность должна быть не менее 0,9. Составим и решим неравенство:$1 - (0.6)^n \ge 0.9$

Преобразуем неравенство:$-(0.6)^n \ge 0.9 - 1$
$-(0.6)^n \ge -0.1$
$(0.6)^n \le 0.1$

Теперь найдем наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, путем подбора:
При $n=1$: $(0.6)^1 = 0.6$, что больше $0.1$.
При $n=2$: $(0.6)^2 = 0.36$, что больше $0.1$.
При $n=3$: $(0.6)^3 = 0.216$, что больше $0.1$.
При $n=4$: $(0.6)^4 = 0.1296$, что больше $0.1$.
При $n=5$: $(0.6)^5 = 0.07776$, что меньше $0.1$.

Таким образом, наименьшее количество выстрелов, при котором вероятность попадания будет не менее 0,9, равно 5. Следовательно, стрелок должен иметь не менее 5 патронов.

Ответ: 5

221 Инженеры проектируют систему автоматической передачи информации от автомобиля в кризисный центр в случае аварии. Возможны помехи разного рода, поэтому система должна уметь делать несколько попыток, чтобы достичь успеха. Число попыток нужно ограничить, чтобы система не зависла. По техническому заданию вероятность передачи информации должна быть не ниже $0.95$, если вероятность успеха в каждой отдельной попытке $0.2$. Каким числом ограничить разрешённое количество попыток?

Обозначим вероятность успеха в одной отдельной попытке как $p$. По условию задачи, $p = 0.2$.

Тогда вероятность неудачи в одной попытке, которую обозначим как $q$, равна:$q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$

Система не сможет передать информацию только в том случае, если все попытки окажутся неудачными. Пусть $n$ — это разрешённое количество попыток. Вероятность того, что все $n$ попыток будут неудачными, равна $q^n$ (поскольку попытки являются независимыми событиями).

Вероятность успешной передачи информации $P_{успеха}$ — это вероятность того, что хотя бы одна попытка из $n$ окажется успешной. Это событие, противоположное событию, когда все $n$ попыток неудачны. Следовательно,$P_{успеха} = 1 - q^n = 1 - (0.8)^n$

Согласно техническому заданию, вероятность успешной передачи информации должна быть не ниже 0,95. Это можно записать в виде неравенства:$1 - (0.8)^n \ge 0.95$

Решим это неравенство относительно $n$:$-(0.8)^n \ge 0.95 - 1$$-(0.8)^n \ge -0.05$Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:$(0.8)^n \le 0.05$

Чтобы найти $n$, прологарифмируем обе части неравенства. Можно использовать натуральный логарифм (ln).$\ln((0.8)^n) \le \ln(0.05)$$n \cdot \ln(0.8) \le \ln(0.05)$

Так как $0.8 < 1$, значение $\ln(0.8)$ является отрицательным числом. При делении на отрицательное число знак неравенства снова меняется на противоположный:$n \ge \frac{\ln(0.05)}{\ln(0.8)}$

Подставим приблизительные значения логарифмов:$\ln(0.05) \approx -2.9957$$\ln(0.8) \approx -0.2231$$n \ge \frac{-2.9957}{-0.2231}$$n \ge 13.427...$

Поскольку количество попыток $n$ должно быть целым числом, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого.Следовательно, минимально необходимое количество попыток равно 14.

Проверим:При $n=13$ вероятность успеха $P_{успеха} = 1 - (0.8)^{13} \approx 1 - 0.055 = 0.945$, что меньше 0.95.При $n=14$ вероятность успеха $P_{успеха} = 1 - (0.8)^{14} \approx 1 - 0.044 = 0.956$, что больше 0.95.Расчет верен.

Ответ: 14