Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

104 После удаления из таблицы 43 городов Балашихи, Подольска и Вереи нужно сгруппировать оставшиеся данные.

а) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 10 тыс. чел. при шаге группировки 10 тыс. чел.?

б) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 0 тыс. чел., а шаг группировки 25 тыс. чел.?

в) Какой из этих двух способов группировки вы бы предпочли?

г) Сколько городов из таблицы 43 попадает в интервал 90—120 тыс. чел.?

д) Какова частота попадания в интервал 90—120 тыс. чел.?

Для решения задачи сначала подготовим данные. Изначально в таблице было 43 города. После удаления городов Балашиха, Подольск и Верея в наборе данных осталось $43 - 3 = 40$ городов. Проанализировав данные о населении оставшихся городов (из «Таблицы 43. Города Московской области с населением более 10 тыс. человек»), находим минимальное и максимальное значения:

• Минимальное значение населения: 31,4 тыс. чел. (г. Можайск).
• Максимальное значение населения: 207,1 тыс. чел. (г. Химки).

Теперь ответим на вопросы.

а) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 10 тыс. чел. при шаге группировки 10 тыс. чел.?

Нам нужно покрыть диапазон значений от 31,4 до 207,1. Группировка начинается со значения 10 тыс. чел. с шагом 10 тыс. чел. Интервалы будут иметь вид [10, 20), [20, 30), и так далее. Последний интервал должен включать максимальное значение 207,1. Обозначим количество интервалов через $N$. Тогда верхняя граница последнего интервала должна быть больше максимального значения в данных:

$10 + N \cdot 10 > 207,1$

$10N > 207,1 - 10$

$10N > 197,1$

$N > 19,71$

Так как число интервалов $N$ должно быть целым, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 20. Интервалы будут от [10, 20) до [200, 210).

Ответ: 20 интервалов.

б) Сколько интервалов группировки получится, если сделать начальное значение 0 тыс. чел., а шаг группировки 25 тыс. чел.?

Группировка начинается со значения 0 тыс. чел. с шагом 25 тыс. чел. Интервалы: [0, 25), [25, 50), и так далее. Последний интервал должен включать максимальное значение 207,1. Пусть $N$ — количество интервалов. Тогда:

$0 + N \cdot 25 > 207,1$

$25N > 207,1$

$N > \frac{207,1}{25}$

$N > 8,284$

Наименьшее целое число интервалов $N$, удовлетворяющее этому условию, равно 9. Интервалы будут от [0, 25) до [200, 225).

Ответ: 9 интервалов.

в) Какой из этих двух способов группировки вы бы предпочли?

Выбор количества интервалов зависит от объёма выборки и целей анализа. Для выборки из 40 элементов данных, согласно общим рекомендациям (например, по правилу Стёрджеса, $k \approx 1 + \log_2(n)$), оптимальное количество интервалов составляет примерно 6–7.

Первый способ (20 интервалов) является слишком детальным. Такое большое количество интервалов для 40 значений может привести к появлению множества пустых или почти пустых групп, что затруднит выявление общей тенденции в распределении данных.

Второй способ (9 интервалов) ближе к оптимальному числу. Он позволяет лучше обобщить данные и нагляднее представить их распределение, не перегружая его излишними деталями.

Ответ: Предпочтительнее второй способ группировки, так как он даёт более ясное представление о распределении данных при данном объёме выборки.

г) Сколько городов из таблицы 43 попадает в интервал 90–120 тыс. чел.?

Проанализируем данные по оставшимся 40 городам и найдём те, население которых находится в пределах от 90 до 120 тыс. человек включительно. Это следующие города:

• Долгопрудный (90,9)
• Воскресенск (93,6)
• Домодедово (96,1)
• Раменское (96,3)
• Ногинск (99,8)
• Жуковский (102,7)
• Пушкино (102,8)
• Щёлково (110,4)
• Сергиев Посад (111,1)
• Красногорск (116,7)

Всего в данный интервал попадает 10 городов.

Ответ: 10 городов.

д) Какова частота попадания в интервал 90–120 тыс. чел.?

Частота — это отношение количества элементов, попавших в интервал, к общему количеству элементов в выборке. Количество городов в интервале — 10. Общее количество городов — 40.

Частота $f$ вычисляется по формуле:

$f = \frac{\text{Количество городов в интервале}}{\text{Общее количество городов}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: 0,25.

105 На диаграмме 25 изображена гистограмма «Распределение населения городов Московской области», построенная по данным таблицы 43 после удаления трёх городов (Подольск, Балашиха и Верея). Начальное значение 0 тыс. чел., шаг группировки 30 тыс. чел. Рассмотрите гистограмму, ответьте на вопросы.

Диаграмма 25. Распределение населения городов Московской области

а) Как бы вы описали характер изменчивости величины «Население подмосковного города»?

б) Города с каким населением вы бы назвали крупными?

в) Городов с каким населением больше всего?

а) Как бы вы описали характер изменчивости величины «Население подмосковного города»?
Данное распределение является асимметричным с положительной (правосторонней) скошенностью. Это означает, что подавляющее большинство городов имеют относительно небольшую численность населения. На гистограмме мы видим, что самый высокий столбец соответствует наименьшему интервалу численности населения (0–30 тыс. человек). По мере увеличения численности населения количество городов в каждом последующем интервале резко сокращается. Таким образом, для данной величины характерно наличие большого числа городов с малым населением и очень небольшого числа городов с большим населением. Изменчивость величины высокая, но большинство значений сгруппировано в левой части диапазона.
Ответ: Распределение асимметричное, характеризуется преобладанием городов с малой численностью населения и быстрым уменьшением количества городов по мере роста их населения.

б) Города с каким населением вы бы назвали крупными?
Понятие «крупный город» относительно и зависит от контекста. Анализируя гистограмму, можно заметить, что после интервала 90–120 тыс. человек происходит значительное падение числа городов. В интервалах с населением свыше 120 тыс. человек находится всего несколько городов (5, 2, 1, 2, 1 соответственно). Это указывает на то, что города с населением более 120 тыс. человек являются довольно редкими в данном наборе данных и могут считаться крупными на фоне остальных.
Ответ: Крупными можно назвать города с населением более 120 тыс. человек.

в) Городов с каким населением больше всего?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти на гистограмме самый высокий столбец, так как высота столбца соответствует количеству городов в данном интервале населения. Самый высокий столбец на диаграмме 25 соответствует интервалу от 0 до 30 тыс. человек. Его высота (около 27) значительно превышает высоту всех остальных столбцов.
Ответ: Больше всего городов с населением от 0 до 30 тыс. человек.