Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

100 В числовом наборе встречаются только значения 2, 3, 4 и 5, а частоты их неизвестны (табл. 37). Найдите среднее значение этого числового набора.

Таблица 37

Для нахождения среднего значения числового набора необходимо вычислить сумму всех элементов набора и разделить её на общее количество элементов. В данном случае мы имеем дело с набором, представленным в виде таблицы частот.

Значения в наборе: 2, 3, 4, 5.

Соответствующие им частоты: $x, y, y, x$.

1. Сначала найдем сумму всех элементов набора. Для этого умножим каждое значение на его частоту и сложим полученные результаты:

Сумма = $(2 \cdot x) + (3 \cdot y) + (4 \cdot y) + (5 \cdot x)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

Сумма = $(2x + 5x) + (3y + 4y) = 7x + 7y$

Вынесем общий множитель 7 за скобки:

Сумма = $7(x + y)$

2. Теперь найдем общее количество элементов в наборе, сложив все частоты:

Количество элементов = $x + y + y + x = 2x + 2y$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

Количество элементов = $2(x + y)$

3. Наконец, вычислим среднее значение, разделив сумму всех элементов на их общее количество:

Среднее значение = $\frac{\text{Сумма}}{\text{Количество элементов}} = \frac{7(x + y)}{2(x + y)}$

Поскольку $x$ и $y$ являются частотами, они представляют собой целые неотрицательные числа, и их сумма не может быть равна нулю (иначе набор был бы пустым). Следовательно, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + y)$:

Среднее значение = $\frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: 3,5.

101 Пусть число $m$ является медианой числового набора. Покажите, что сумма частот всех чисел набора, которые не больше $m$, не меньше чем $0.5$.

Пусть дан числовой набор, состоящий из $n$ элементов. Упорядочим элементы этого набора по неубыванию: $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)}$.

Медиана $m$ этого набора — это число, которое характеризует его середину. Сумма частот всех чисел набора, которые не больше $m$, определяется как отношение количества таких чисел ($N_{\le m}$) к общему числу элементов $n$. Нам необходимо доказать, что сумма частот $\frac{N_{\le m}}{n} \ge 0.5$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности общего числа элементов $n$.

1. Число элементов $n$ нечетно.
В этом случае можно записать $n = 2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Медианой $m$ является элемент, стоящий в середине упорядоченного ряда, то есть элемент с номером $k+1$:$m = x_{(k+1)}$.Поскольку элементы набора упорядочены по неубыванию, то все элементы с 1-го по (k+1)-й включительно не больше, чем $x_{(k+1)}$. Это означает, что $x_{(i)} \le m$ для всех $i$ от 1 до $k+1$.Следовательно, количество элементов, которые не больше медианы, $N_{\le m}$, составляет как минимум $k+1$.Сумма частот этих элементов не меньше, чем:$\frac{N_{\le m}}{n} \ge \frac{k+1}{n} = \frac{k+1}{2k+1}$.Проверим, выполняется ли требуемое неравенство:$\frac{k+1}{2k+1} \ge 0.5 \iff 2(k+1) \ge 1(2k+1) \iff 2k+2 \ge 2k+1 \iff 2 \ge 1$.Это неравенство верно, значит, утверждение для нечетного $n$ доказано.

2. Число элементов $n$ четно.
В этом случае можно записать $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Медиана $m$ по определению равна среднему арифметическому двух центральных элементов, т.е. элементов с номерами $k$ и $k+1$:$m = \frac{x_{(k)} + x_{(k+1)}}{2}$.Так как набор упорядочен, то $x_{(k)} \le x_{(k+1)}$. Из этого следует, что медиана не меньше, чем $k$-й элемент:$m = \frac{x_{(k)} + x_{(k+1)}}{2} \ge \frac{x_{(k)} + x_{(k)}}{2} = x_{(k)}$.Поскольку все первые $k$ элементов ряда ($x_{(1)}, x_{(2)}, \dots, x_{(k)}$) не превосходят $x_{(k)}$, они также не превосходят и медиану $m$.Таким образом, количество элементов, которые не больше медианы, $N_{\le m}$, составляет как минимум $k$.Сумма частот этих элементов не меньше, чем:$\frac{N_{\le m}}{n} \ge \frac{k}{n} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} = 0.5$.Следовательно, утверждение для четного $n$ также доказано.

Поскольку утверждение верно для обоих случаев (четного и нечетного числа элементов), оно доказано для любого числового набора.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма частот всех чисел набора, которые не больше медианы, всегда не меньше 0,5. Это является прямым следствием определения медианы, которая по своей сути делит упорядоченный набор данных таким образом, что по меньшей мере половина элементов не больше ее, а по меньшей мере половина — не меньше.

102 Частоту букв в русском языке можно приблизительно оценить с помощью художественных текстов. Прочитайте три отрывка из произведений А. С. Пушкина.

Первый отрывок («Дубровский»)
По этим приметам немудрено будет вам отыскать Дубровского. Да кто же не среднего роста, у кого не русые волосы, не прямой нос, да не карие глаза! Бьюсь об заклад, три часа будешь говорить с самим Дубровским, а не догадаешься, с кем Бог тебя свёл. Нечего сказать, умные головушки приказные!

Второй отрывок («Выстрел»)
Рассеянные жители столицы не имеют понятия о многих впечатлениях, столь известных жителям деревень или городков, например об ожидании почтового дня: во вторник и пятницу полковая наша канцелярия бывала полна офицерами: кто ждал денег, кто письма, кто газет.

Третий отрывок («Капитанская дочка»)
Вскоре все заговорили о Пугачёве. Толк урядника с поручением разведать хорошенько обо всём по соседним селениям и крепостям. Урядник возвратился через два дня и объявил, что в степи вёрст за шестьдесят от крепости видел он множество огней и слышал от башкирцев, что идёт неведомая сила.

а) Посчитайте буквы «а», «о» и «и» в трёх этих отрывках и заполните таблицу 38.

Таблица 38

б) Посчитайте буквы «н» и «т» и заполните таблицу 39. Можно ли по полученным данным судить, какая из букв: «н» или «т» — используется в русском языке чаще?

Таблица 39

Историческая справка. На протяжении нескольких веков для печати книг, журналов и газет использовались литеры — буквы, отлитые из специального сплава на основе свинца. Наборщик на специальной доске набирал текст каждой страницы. Затем набор покрывали типографской краской и делали необходимое количество оттисков. Поскольку одни буквы встречаются чаще, а другие реже, было важно знать, с какой частотой в текстах встречаются разные буквы (табл. 40).

Таблица 40. Частоты букв русского языка

Не менее важна информация о частотах букв для лингвистов и криптографов¹. Частоты символов лежат в основе некоторых методов расшифровки текстов на неизвестных языках. Частоты букв, знаков препинания и другие статистические характеристики текста используют для выяснения авторства, когда точно неизвестно, кто написал произведение.

а)

Для того чтобы заполнить таблицу 38, необходимо посчитать количество букв «а», «о» и «и» в каждом из трёх представленных отрывков из произведений А. С. Пушкина.

1. Первый отрывок («Дубровский»):
«По этим приметам немудрено будет вам отыскать Дубровского. Да кто же не среднего роста, у кого не русые волосы, не прямой нос, да не карие глаза! Бьюсь об заклад, три часа будешь говорить с самим Дубровским, а не догадаешься, с кем Бог тебя свёл. Нечего сказать, умные головушки приказные!»
- Буква «а»: 17
- Буква «о»: 17
- Буква «и»: 7

2. Второй отрывок («Выстрел»):
«Рассеянные жители столицы не имеют понятия о многих впечатлениях, столь известных жителям деревень или городков, например об ожидании почтового дня: во вторник и пятницу полковая наша канцелярия бывала полна офицерами: кто ждал денег, кто письма, кто газет.»
- Буква «а»: 14
- Буква «о»: 14
- Буква «и»: 16

3. Третий отрывок («Капитанская дочка»):
«Вскоре все заговорили о Пугачёве. Толки были различны. Комендант послал урядника с поручением разведать хорошенько обо всём по соседним селениям и крепостям. Урядник возвратился через два дня и объявил, что в степи вёрст за шестьдесят от крепости видел он множество огней и слышал от башкирцев, что идёт неведомая сила.»
- Буква «а»: 12
- Буква «о»: 19
- Буква «и»: 15

Ответ:

б)

Сначала посчитаем количество букв «н» и «т» в каждом отрывке, чтобы заполнить таблицу 39.

1. Первый отрывок:
- Буква «н»: 10
- Буква «т»: 8

2. Второй отрывок:
- Буква «н»: 14
- Буква «т»: 12

3. Третий отрывок:
- Буква «н»: 10
- Буква «т»: 11

Теперь проанализируем полученные данные, чтобы ответить на вопрос, какая из букв используется чаще.
Суммарное количество букв по трём отрывкам:
Буква «н»: $10 + 14 + 10 = 34$
Буква «т»: $8 + 12 + 11 = 31$
На основе этих данных можно сделать предварительный вывод, что буква «н» встречается чаще. Однако выборка текста очень мала, и результаты по отдельным отрывкам противоречивы (в третьем отрывке буква «т» встречается чаще). Поэтому делать однозначный вывод на основе только этих данных некорректно.

Если обратиться к таблице 40 «Частоты букв русского языка», которая основана на анализе большого объёма текста, то мы увидим следующие данные:
Частота буквы Н: $0,065$
Частота буквы Т: $0,065$
Таким образом, согласно более точным статистическим данным, частоты употребления букв «н» и «т» в русском языке одинаковы. Небольшое преобладание буквы «н» в проанализированных отрывках является случайным статистическим отклонением, характерным для малых выборок.

Ответ:

По данным трёх отрывков, буква «н» встречается немного чаще (34 раза против 31). Однако эта выборка слишком мала для окончательного вывода о частоте употребления в языке в целом. Согласно общим статистическим данным из таблицы 40, частота встречаемости букв «н» и «т» в русском языке одинакова и составляет $0,065$. Следовательно, на основе достоверных данных можно утверждать, что ни одна из этих букв не используется чаще другой.