Страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

192 В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит:

a) вписанному в круг квадрату;

б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае — площади) благоприятствующей области к мере всей области. Пусть радиус круга равен $R$.

Площадь всего круга $S_{круга}$ вычисляется по формуле:

$S_{круга} = \pi R^2$

Эта величина будет знаменателем в дроби для вычисления вероятности в обоих случаях.

а) вписанному в круг квадрату;

Найдем площадь квадрата, вписанного в круг. Диагональ такого квадрата $d$ равна диаметру круга, то есть $d = 2R$.

Площадь квадрата $S_{квадрата}$ можно выразить через его диагональ по формуле:

$S_{квадрата} = \frac{1}{2} d^2$

Подставив $d = 2R$, получим:

$S_{квадрата} = \frac{1}{2} (2R)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 = 2R^2$

Вероятность того, что точка принадлежит вписанному квадрату, равна отношению площади квадрата к площади круга:

$P(A) = \frac{S_{квадрата}}{S_{круга}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi}$

Ответ: $\frac{2}{\pi}$

б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

Найдем площадь равностороннего треугольника, вписанного в круг. Сторона такого треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой:

$a = R\sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника $S_{треуг}$ со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим выражение для стороны $a$ через радиус $R$:

$S_{треуг} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$

Вероятность того, что точка принадлежит вписанному равностороннему треугольнику, равна отношению его площади к площади круга:

$P(B) = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

193 В прямоугольнике со сторонами $6 \text{ см}$ и $20 \text{ см}$ нарисованы два непересекающихся круга диаметром $3 \text{ см}$ каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника:

а) не принадлежит ни одному из этих кругов;

б) не принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

Для решения этой задачи по геометрической вероятности, нам нужно найти отношение площади благоприятствующей области к общей площади фигуры. Общей фигурой является прямоугольник.

Сначала вычислим основные площади:

1. Общая площадь (площадь прямоугольника) $S_{общ}$.Стороны прямоугольника равны 6 см и 20 см.$S_{общ} = 6 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$.

2. Площадь одного круга $S_{кр}$.Диаметр каждого круга $d = 3$ см, следовательно, радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.$S_{кр} = \pi \times (1.5)^2 = 2.25\pi \text{ см}^2$.

3. Суммарная площадь двух кругов $S_{2кр}$.Так как в прямоугольнике нарисованы два одинаковых круга, их общая площадь равна:$S_{2кр} = 2 \times S_{кр} = 2 \times 2.25\pi = 4.5\pi \text{ см}^2$.

а) не принадлежит ни одному из этих кругов;

Это событие означает, что случайно выбранная точка находится в области прямоугольника, но вне обоих кругов.

Площадь благоприятной для этого события области $S_{а}$ равна разности площади прямоугольника и суммарной площади двух кругов:$S_{а} = S_{общ} - S_{2кр} = 120 - 4.5\pi \text{ см}^2$.

Вероятность $P(a)$ этого события равна отношению благоприятной площади к общей площади:$P(a) = \frac{S_{а}}{S_{общ}} = \frac{120 - 4.5\pi}{120} = 1 - \frac{4.5\pi}{120} = 1 - \frac{9\pi}{240} = 1 - \frac{3\pi}{80}$.

Ответ: $1 - \frac{3\pi}{80}$.

б) не принадлежит хотя бы одному из этих кругов.

Событие "точка не принадлежит хотя бы одному из кругов" означает, что точка либо не находится в первом круге, либо не находится во втором круге. Это событие является дополнением к событию "точка принадлежит обоим кругам одновременно".

В условии задачи указано, что круги являются непересекающимися. Это означает, что не существует точки, которая могла бы принадлежать обоим кругам сразу. Область их пересечения пуста, и ее площадь равна нулю.

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная точка попадет в пересечение двух кругов (т.е. будет принадлежать обоим кругам), равна нулю.

Вероятность искомого события $P(б)$ равна единице минус вероятность противоположного события:$P(б) = 1 - P(\text{точка принадлежит обоим кругам}) = 1 - 0 = 1$.

Таким образом, любая точка, выбранная в прямоугольнике, удовлетворяет условию "не принадлежит хотя бы одному из кругов", потому что невозможно, чтобы она принадлежала обоим непересекающимся кругам.

Ответ: $1$.

194 Буратино посадил в центре квадратного листа бумаги со стороной 22 см круглую кляксу радиусом 1 см. Сразу после этого Буратино посадил ещё одну такую же кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы не соприкасаются.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Вероятность искомого события равна отношению площади области, соответствующей благоприятным исходам, к площади области всех возможных исходов.

1. Определение области всех возможных исходов.

Поместим центр квадратного листа бумаги в начало координат $(0,0)$. Сторона листа равна 22 см, значит, его границы проходят по линиям $x=\pm11$ и $y=\pm11$. Первая клякса радиусом $r=1$ см расположена в центре листа.

Вторая клякса, также радиусом $r=1$ см, должна полностью находиться на листе. Это означает, что её центр $(x,y)$ должен быть удалён от каждого края листа как минимум на расстояние, равное радиусу, то есть на 1 см. Следовательно, допустимые координаты для центра второй кляксы лежат в диапазонах:

$-11+1 \le x \le 11-1$, то есть $-10 \le x \le 10$.

$-11+1 \le y \le 11-1$, то есть $-10 \le y \le 10$.

Таким образом, область всех возможных положений центра второй кляксы представляет собой квадрат со стороной $10 - (-10) = 20$ см. Площадь этой области (общая площадь исходов) составляет:

$S_{общая} = 20^2 = 400$ см$^2$.

2. Определение области благоприятных исходов.

Благоприятным исходом является событие, при котором две кляксы не соприкасаются. Два круга не соприкасаются и не пересекаются, если расстояние между их центрами больше, чем сумма их радиусов.

Центр первой кляксы находится в точке $C_1(0,0)$, а центр второй — в точке $C_2(x,y)$. Радиусы обеих клякс равны 1 см. Сумма их радиусов равна $1+1=2$ см.

Расстояние между центрами клякс вычисляется по формуле: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Условие, при котором кляксы не соприкасаются, имеет вид: $d > 2$, или $\sqrt{x^2+y^2} > 2$.

Это неравенство описывает все точки, находящиеся за пределами круга с радиусом 2 см и центром в начале координат.

Следовательно, неблагоприятным исходом будет ситуация, когда кляксы соприкасаются или пересекаются. Это происходит, когда центр второй кляксы попадает в круг радиусом 2 см вокруг центра первой кляксы ($ \sqrt{x^2+y^2} \le 2 $). Площадь этой "запретной" области равна:

$S_{небл} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь области благоприятных исходов — это общая площадь за вычетом площади неблагоприятных исходов:

$S_{бл} = S_{общая} - S_{небл} = 400 - 4\pi$ см$^2$.

3. Расчёт вероятности.

Вероятность $P$ того, что две кляксы не соприкасаются, находится как отношение площади благоприятных исходов к общей площади всех исходов:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общая}} = \frac{400 - 4\pi}{400} = 1 - \frac{4\pi}{400} = 1 - \frac{\pi}{100}$.

Ответ: $1 - \frac{\pi}{100}$.

195 Монету диаметром 2 см наудачу бросают на шахматную доску со стороной клетки 3 см. Какова вероятность того, что упавшая монета целиком поместилась в одной клетке?

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Вероятность события A ($P(A)$) определяется как отношение меры области, благоприятствующей событию ($S_{бл}$), к мере всей области возможных исходов ($S_{общ}$). В данном случае мерой является площадь.

Рассмотрим одну клетку шахматной доски. Это квадрат со стороной $a = 3$ см. Положение монеты определяется положением ее центра. Будем считать, что центр монеты может с равной вероятностью оказаться в любой точке этой клетки. Таким образом, общая площадь возможных положений для центра монеты равна площади клетки:

$S_{общ} = a^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

Теперь определим область, благоприятствующую событию. Событие заключается в том, что монета целиком поместилась в одной клетке. Диаметр монеты $d = 2$ см, следовательно, ее радиус $r = d/2 = 1$ см.

Чтобы монета полностью находилась внутри клетки, ее центр должен находиться на расстоянии не менее радиуса $r$ от каждой из сторон клетки. Это означает, что центр монеты должен располагаться внутри меньшего квадрата, стороны которого отстоят от сторон клетки на $r=1$ см.

Сторона этого внутреннего, "благоприятного" квадрата будет равна:

$a_{бл} = a - 2r = a - d = 3 - 2 = 1$ см.

Площадь, благоприятствующая событию, равна площади этого меньшего квадрата:

$S_{бл} = a_{бл}^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.

Теперь можем найти искомую вероятность как отношение благоприятной площади к общей площади:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$