Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Запишите формулу вероятности события «наступило 3 успеха в серии из 8 испытаний Бернулли»:

$P_8(3) = \binom{8}{3} p^3 (1-p)^5$

1

Для нахождения вероятности того, что в серии из $n$ независимых испытаний Бернулли произойдет ровно $k$ успехов, используется формула Бернулли. Общий вид формулы следующий:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В этой формуле:

$n$ — общее количество проведенных испытаний.

$k$ — количество наступивших «успехов».

$p$ — вероятность «успеха» в каждом отдельном испытании.

$q$ — вероятность «неудачи» в каждом отдельном испытании, причем $q = 1 - p$.

$C_n^k$ — число сочетаний, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных испытаний из $n$ общих. Рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Согласно условию задачи, нам дано:

Общее число испытаний $n = 8$.

Требуемое число успехов $k = 3$.

Вероятность успеха $p$ и неудачи $q$ не указаны, поэтому они остаются в формуле как переменные.

Подставим значения $n=8$ и $k=3$ в формулу Бернулли:

$P_8(3) = C_8^3 p^3 q^{8-3}$

Упростим выражение в показателе степени для $q$:

$P_8(3) = C_8^3 p^3 q^5$

Это и есть искомая формула для данного события.

Ответ: $P_8(3) = C_8^3 p^3 q^5$.

2 Запишите выражение для вероятности события «наступило 2 или 3 успеха в серии из 9 испытаний Бернулли».

$P(X=2 \text{ или } X=3) = \binom{9}{2} p^2 q^{7} + \binom{9}{3} p^3 q^{6}$

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний;
• $k$ — число наступивших успехов;
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании;
• $q$ — вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1-p$);
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

В условии задачи дано:

• Число испытаний $n=9$.
• Событие, вероятность которого нужно найти: «наступило 2 или 3 успеха».

События «наступило 2 успеха» и «наступило 3 успеха» являются несовместными, то есть они не могут произойти одновременно. Поэтому вероятность их объединения (события «или-или») равна сумме их вероятностей.

Обозначим искомое событие как $A$. Тогда $P(A) = P_9(2) + P_9(3)$.

1. Найдём вероятность того, что в 9 испытаниях наступило ровно 2 успеха ($k=2$):
$P_9(2) = C_9^2 p^2 q^{9-2} = C_9^2 p^2 q^7$

2. Найдём вероятность того, что в 9 испытаниях наступило ровно 3 успеха ($k=3$):
$P_9(3) = C_9^3 p^3 q^{9-3} = C_9^3 p^3 q^6$

3. Сложим полученные вероятности, чтобы найти итоговое выражение:
$P(A) = P_9(2) + P_9(3) = C_9^2 p^2 q^7 + C_9^3 p^3 q^6$

Это и есть искомое выражение для вероятности.

Ответ: $C_9^2 p^2 q^7 + C_9^3 p^3 q^6$

3 Как найти вероятность события «хотя бы один успех» в серии испытаний Бернулли?

Вероятность события «хотя бы один успех» в серии из $n$ независимых испытаний Бернулли удобнее всего находить через вероятность противоположного (дополнительного) события.

1. Определение событий и переменных

Пусть $A$ — это событие, при котором в серии из $n$ испытаний произойдет хотя бы один успех. Тогда противоположное ему событие $\overline{A}$ — это событие, при котором не произойдет ни одного успеха (то есть все $n$ испытаний закончатся неудачей).

Введем обозначения:

• $n$ — общее число независимых испытаний.
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании.
• $q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании, где $q = 1 - p$.

2. Расчет вероятности противоположного события $P(\overline{A})$

Вероятность неудачи в одном испытании равна $q$. Поскольку все $n$ испытаний независимы, вероятность того, что все они закончатся неудачей, равна произведению их вероятностей:

$P(\overline{A}) = \underbrace{q \cdot q \cdot \dots \cdot q}_{n \text{ раз}} = q^n$

Используя связь между $p$ и $q$, получаем: $P(\overline{A}) = (1 - p)^n$.

3. Расчет искомой вероятности $P(A)$

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице: $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.

Отсюда можно выразить искомую вероятность события $A$:

$P(A) = 1 - P(\overline{A})$

Подставив найденное ранее значение для $P(\overline{A})$, получаем итоговую формулу:

$P(A) = 1 - q^n = 1 - (1-p)^n$

Ответ: Вероятность события «хотя бы один успех» в серии из $n$ испытаний Бернулли, где вероятность успеха в каждом испытании равна $p$, вычисляется по формуле: $P = 1 - (1-p)^n$.