Страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

141 Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы сумма любых двух, стоящих рядом, делилась на 5 или на 12?

Указание. Постройте граф, соединив рёбрами числа, которые могут стоять рядом. Затем найдите какую-нибудь цепь в этом графе, проходящую через все рёбра.

Для решения этой задачи, следуя указанию, построим граф. Вершинами графа будут натуральные числа от 1 до 9. Две вершины $u$ и $v$ соединены ребром, если их сумма $u+v$ делится на 5 или на 12. Исходная задача эквивалентна поиску в этом графе гамильтонова пути — пути, который проходит через каждую вершину ровно один раз. Если такой путь существует, то последовательность вершин в этом пути и будет искомым рядом чисел.

Найдем все пары чисел от 1 до 9, которые могут стоять рядом. Сумма двух различных чисел $u$ и $v$ из этого набора ($u \ne v$) находится в диапазоне $1+2=3 \le u+v \le 8+9=17$. Условию, что сумма $u+v$ делится на 5 или на 12, удовлетворяют суммы, равные 5, 10, 15 или 12. Составим список рёбер графа, соединяющих соответствующие пары вершин:

• Сумма равна 5: $(1, 4), (2, 3)$.
• Сумма равна 10: $(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)$.
• Сумма равна 12: $(3, 9), (4, 8), (5, 7)$.
• Сумма равна 15: $(6, 9), (7, 8)$.

Теперь проанализируем полученный граф. Определим степени вершин (количество рёбер, инцидентных каждой вершине):

• $deg(1) = 2$ (соседи 4, 9)
• $deg(2) = 2$ (соседи 3, 8)
• $deg(3) = 3$ (соседи 2, 7, 9)
• $deg(4) = 3$ (соседи 1, 6, 8)
• $deg(5) = 1$ (сосед 7)
• $deg(6) = 2$ (соседи 4, 9)
• $deg(7) = 3$ (соседи 3, 5, 8)
• $deg(8) = 3$ (соседи 2, 4, 7)
• $deg(9) = 3$ (соседи 1, 3, 6)

Вершина 5 имеет степень 1 ($deg(5) = 1$). В графе с более чем двумя вершинами любая вершина со степенью 1 должна быть начальной или конечной точкой гамильтонова пути, если таковой существует. Следовательно, искомый ряд чисел должен начинаться или заканчиваться числом 5.

Поищем гамильтонов путь. Он должен содержать ребро $(5, 7)$, так как это единственное ребро, выходящее из вершины 5. Путем перебора вариантов можно найти один из возможных путей. Например, рассмотрим следующую последовательность вершин:

5 → 7 → 3 → 2 → 8 → 4 → 1 → 9 → 6

Эта последовательность является гамильтоновым путем, так как она включает все вершины по одному разу, и каждая пара соседних вершин соединена ребром в построенном графе. Проверим, удовлетворяет ли найденная последовательность условию задачи, вычислив суммы соседних чисел:

• $5+7=12$ (делится на 12)
• $7+3=10$ (делится на 5)
• $3+2=5$ (делится на 5)
• $2+8=10$ (делится на 5)
• $8+4=12$ (делится на 12)
• $4+1=5$ (делится на 5)
• $1+9=10$ (делится на 5)
• $9+6=15$ (делится на 5)

Все суммы соседних чисел в ряду делятся на 5 или на 12. Следовательно, выписать числа в ряд требуемым образом возможно.

Ответ: Да, можно. Например, в последовательности: 5, 7, 3, 2, 8, 4, 1, 9, 6. Существуют и другие варианты, например: 6, 9, 1, 4, 8, 2, 3, 7, 5.

257 В таблицах 15 и 16 дано распределение вероятностей случайной величины. Найдите математическое ожидание этой величины.

a) Таблица 15

Значение: 1, Вероятность: $\frac{1}{9}$

Значение: 2, Вероятность: $\frac{1}{6}$

Значение: 3, Вероятность: $\frac{1}{12}$

Значение: 4, Вероятность: $\frac{1}{4}$

Значение: 5, Вероятность: $\frac{1}{18}$

Значение: 6, Вероятность: $\frac{1}{3}$

б) Таблица 16

Значение: -3, Вероятность: 0,09

Значение: -2, Вероятность: 0,12

Значение: -1, Вероятность: 0,21

Значение: 0, Вероятность: 0,25

Значение: 1, Вероятность: 0,04

Значение: 2, Вероятность: 0,05

Значение: 3, Вероятность: 0,24

a)

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины $X$ вычисляется по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$, где $x_i$ — значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Для данных из Таблицы 15 подставим значения в формулу:
$M(X) = 1 \cdot \frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{12} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{18} + 6 \cdot \frac{1}{3}$

Для вычисления суммы приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 9, 6, 12, 4, 18, 3 равно 36.
$M(X) = \frac{1 \cdot 4}{36} + \frac{2 \cdot 6}{36} + \frac{3 \cdot 3}{36} + \frac{4 \cdot 9}{36} + \frac{5 \cdot 2}{36} + \frac{6 \cdot 12}{36}$
$M(X) = \frac{4}{36} + \frac{12}{36} + \frac{9}{36} + \frac{36}{36} + \frac{10}{36} + \frac{72}{36}$

Сложим числители полученных дробей:
$M(X) = \frac{4 + 12 + 9 + 36 + 10 + 72}{36} = \frac{143}{36}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:
$M(X) = 3 \frac{35}{36}$

Ответ: $3 \frac{35}{36}$

б)

Аналогично, вычислим математическое ожидание для случайной величины, распределение которой дано в Таблице 16:
$M(X) = (-3) \cdot 0,09 + (-2) \cdot 0,12 + (-1) \cdot 0,21 + 0 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,04 + 2 \cdot 0,05 + 3 \cdot 0,24$

Вычислим каждое произведение:
$M(X) = -0,27 - 0,24 - 0,21 + 0 + 0,04 + 0,10 + 0,72$

Сложим сначала все отрицательные числа, а затем все положительные:
$(-0,27) + (-0,24) + (-0,21) = -0,72$
$0,04 + 0,10 + 0,72 = 0,86$

Теперь найдем окончательную сумму:
$M(X) = -0,72 + 0,86 = 0,14$

Ответ: $0,14$

258 Найдите $EZ$, если случайная величина $Z$ с равными вероятностями принимает:

a) все целые значения от -15 до 15;

б) все чётные целые значения от 2 до 16.

а) все целые значения от –15 до 15;

Математическое ожидание $EZ$ для дискретной случайной величины $Z$, принимающей $n$ значений $z_1, z_2, \ldots, z_n$ с равными вероятностями, вычисляется как среднее арифметическое этих значений. Вероятность каждого значения $p = 1/n$.

Формула для математического ожидания:

$EZ = \sum_{i=1}^{n} z_i p_i = \sum_{i=1}^{n} z_i \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i$

В данном случае случайная величина $Z$ принимает все целые значения от –15 до 15 включительно. Найдем количество этих значений, $n$. Это количество целых чисел в диапазоне, которое можно найти по формуле:

$n = \text{последнее} - \text{первое} + 1 = 15 - (-15) + 1 = 15 + 15 + 1 = 31$.

Теперь найдем сумму этих значений. Значения представляют собой арифметическую прогрессию: $-15, -14, \ldots, 0, \ldots, 14, 15$. Сумма такой симметричной последовательности равна нулю, так как для каждого положительного числа есть соответствующее отрицательное. Формально, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$\sum z_i = \frac{31 \cdot (-15 + 15)}{2} = \frac{31 \cdot 0}{2} = 0$.

Теперь вычислим математическое ожидание:

$EZ = \frac{1}{n} \sum z_i = \frac{1}{31} \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

б) все чётные целые значения от 2 до 16.

В данном случае случайная величина $Z$ принимает все чётные целые значения от 2 до 16 включительно. Это значения: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16$.

Найдем количество этих значений, $n$. Значения образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2$, последним членом $a_n = 16$ и разностью $d=2$.

Количество членов прогрессии можно найти по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:

$n = \frac{16 - 2}{2} + 1 = \frac{14}{2} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Теперь найдем сумму этих значений, используя формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$\sum z_i = \frac{8 \cdot (2 + 16)}{2} = \frac{8 \cdot 18}{2} = 4 \cdot 18 = 72$.

Теперь вычислим математическое ожидание:

$EZ = \frac{1}{n} \sum z_i = \frac{1}{8} \cdot 72 = 9$.

Ответ: 9

259 На вокзале игрок предлагает прохожим игру. Он зажимает в кулаке носовой платок так, что четыре уголка торчат наружу между пальцами. Прохожий берёт платок за два уголка и вытягивает его. Если прохожий вытягивает платок за соседние уголки, то проигрывает 50 р. Если прохожий вытягивает два противоположных уголка, то выигрывает 50 р. Составьте распределение и найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «выигрыш прохожего».

Пусть $X$ – случайная величина, обозначающая выигрыш прохожего. Возможные значения этой величины: $50$ рублей в случае выигрыша и $-50$ рублей в случае проигрыша.

Сначала определим общее число исходов. Прохожий выбирает 2 уголка из 4 доступных. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
Таким образом, существует 6 равновероятных способов выбрать пару уголков.

Теперь определим количество благоприятных исходов для каждого события:

• Выигрыш: Происходит, если выбраны два противоположных уголка. В четырехугольном платке есть 2 пары противоположных уголков.
• Проигрыш: Происходит, если выбраны два соседних уголка. В четырехугольном платке есть 4 пары соседних уголков (по одной для каждой стороны).

Найдем вероятности этих событий:
Вероятность выигрыша ($X = 50$): $p_1 = \frac{\text{число пар противоположных уголков}}{\text{общее число пар}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Вероятность проигрыша ($X = -50$): $p_2 = \frac{\text{число пар соседних уголков}}{\text{общее число пар}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Распределение случайной величины X «выигрыш прохожего»

На основе вычисленных вероятностей составим закон распределения для случайной величины $X$. Его можно представить в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения случайной величины X: $X=50$ с вероятностью $1/3$; $X=-50$ с вероятностью $2/3$.

Математическое ожидание случайной величины X

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
$M(X) = \sum x_i p_i$.

Подставим значения из таблицы распределения:
$M(X) = (50 \times \frac{1}{3}) + (-50 \times \frac{2}{3}) = \frac{50}{3} - \frac{100}{3} = -\frac{50}{3}$.

В виде десятичной дроби это составляет:
$M(X) = -16 \frac{2}{3} \approx -16.67$ рублей.

Отрицательное значение математического ожидания означает, что игра невыгодна для прохожего, и в среднем он будет проигрывать около 16 рублей 67 копеек за каждую игру.

Ответ: Математическое ожидание выигрыша прохожего составляет $M(X) = -\frac{50}{3}$ рублей.

260 Организатор лотереи напечатал всего 10 000 лотерейных билетов. Цена каждого билета 50 р. Известно, что 1000 билетов дают выигрыш 100 р., ещё в 10 билетах — выигрыш 1000 р., а на 1 билет приходится главный выигрыш 10 000 р. Все прочие билеты без выигрыша. Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один случайный лотерейный билет». Сравните средний выигрыш с ценой билета.

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один случайный лотерейный билет».
Пусть $X$ — случайная величина, равная сумме выигрыша по одному лотерейному билету. Всего выпущено $N = 10000$ билетов.

Возможные значения выигрыша и их вероятности:

• Выигрыш 100 р. ($x_1 = 100$). Таких билетов 1000. Вероятность этого события:
  $p_1 = \frac{1000}{10000} = \frac{1}{10} = 0.1$
• Выигрыш 1000 р. ($x_2 = 1000$). Таких билетов 10. Вероятность этого события:
  $p_2 = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} = 0.001$
• Выигрыш 10 000 р. ($x_3 = 10000$). Такой билет 1. Вероятность этого события:
  $p_3 = \frac{1}{10000} = 0.0001$
• Без выигрыша, т.е. выигрыш 0 р. ($x_4 = 0$). Количество таких билетов:
  $10000 - (1000 + 10 + 1) = 10000 - 1011 = 8989$ билетов.
  Вероятность этого события:
  $p_4 = \frac{8989}{10000} = 0.8989$

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины $X$ вычисляется по формуле: $E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + \dots + x_np_n$

Подставим наши значения: $E(X) = 100 \cdot 0.1 + 1000 \cdot 0.001 + 10000 \cdot 0.0001 + 0 \cdot 0.8989$ $E(X) = 10 + 1 + 1 + 0 = 12$

Таким образом, математическое ожидание выигрыша на один билет, или средний выигрыш, составляет 12 рублей.
Ответ: Математическое ожидание выигрыша составляет 12 рублей.

Сравните средний выигрыш с ценой билета.
Средний выигрыш на один билет составляет 12 рублей. Цена одного билета — 50 рублей.

Сравним эти значения: $12 \text{ р.} < 50 \text{ р.}$

Средний выигрыш меньше цены билета на $50 - 12 = 38$ рублей. Это означает, что в среднем, покупая один лотерейный билет, участник теряет 38 рублей.
Ответ: Средний выигрыш (12 р.) меньше цены билета (50 р.).

1 Что такое математическое ожидание случайной величины?

Математическое ожидание случайной величины — это центральная характеристика ее распределения вероятностей, представляющая собой среднее значение, которое можно ожидать в результате большого числа независимых испытаний. Иными словами, это взвешенное среднее всех возможных значений случайной величины, где весами служат их вероятности.

Математическое ожидание обозначается как $E[X]$ или $M[X]$, где $X$ — случайная величина.

Если случайная величина $X$ является дискретной и может принимать конечное или счетное множество значений $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$, где $p_i = P(X=x_i)$ и $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$, то ее математическое ожидание вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$

Пример: Найдем математическое ожидание числа очков, выпадающих при однократном броске стандартного шестигранного кубика.

Случайная величина $X$ может принимать значения $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность каждого из этих исходов одинакова и равна $p = \frac{1}{6}$.

Тогда математическое ожидание равно:

$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Это означает, что при многократном бросании кубика среднее значение выпавших очков будет стремиться к 3.5. Важно отметить, что само значение 3.5 не может выпасть на кубике.

Если случайная величина $X$ является непрерывной и ее распределение описывается функцией плотности вероятности $f(x)$, то ее математическое ожидание вычисляется с помощью интеграла:

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$

Интегрирование производится по всей области возможных значений случайной величины.

Пример: Найдем математическое ожидание для случайной величины $X$, равномерно распределенной на отрезке $[a, b]$.

Функция плотности вероятности для такого распределения имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{если } x \in [a, b] \\ 0 & \text{если } x \notin [a, b] \end{cases}$

Тогда математическое ожидание равно:

$E[X] = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x \, dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \frac{1}{2(b-a)} (b^2 - a^2) = \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$

Таким образом, математическое ожидание для равномерного распределения равно середине отрезка, что интуитивно понятно.

Ответ: Математическое ожидание — это мера центральной тенденции случайной величины, равная средневзвешенному значению всех ее возможных исходов, где в качестве весов используются их вероятности. Для дискретной величины это сумма произведений значений на их вероятности ($E[X] = \sum x_i p_i$), а для непрерывной — интеграл от произведения значения на функцию плотности вероятности ($E[X] = \int x f(x) \, dx$).

2 Может ли быть так, что все значения случайной величины положительны, а математическое ожидание этой величины отрицательно?

Нет, такая ситуация невозможна. Математическое ожидание случайной величины, принимающей только положительные значения, не может быть отрицательным; оно всегда будет строго положительным.

Докажем это утверждение. Рассмотрим два случая: для дискретной и для непрерывной случайной величины.

1. Дискретная случайная величина.

Пусть $X$ — дискретная случайная величина, которая принимает значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$. Математическое ожидание $E[X]$ вычисляется по формуле:

$E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Проанализируем компоненты этой формулы в соответствии с условиями задачи и определениями из теории вероятностей:

• По условию, все значения случайной величины положительны: $x_i > 0$ для всех $i$.
• По определению, любая вероятность является неотрицательной величиной: $p_i \ge 0$.
• Так как это закон распределения вероятностей, сумма всех вероятностей равна 1: $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$. Это означает, что по крайней мере одна вероятность $p_k$ должна быть строго больше нуля ($p_k > 0$).

Каждый член суммы, $x_i p_i$, является произведением строго положительного числа ($x_i$) и неотрицательного числа ($p_i$). Следовательно, каждый такой член неотрицателен: $x_i p_i \ge 0$.

Поскольку существует хотя бы одно значение $x_k$ с вероятностью $p_k > 0$, то соответствующий член суммы $x_k p_k$ будет строго положительным. Сумма неотрицательных слагаемых, среди которых есть хотя бы одно строго положительное, всегда будет строго положительной величиной. Таким образом, $E[X] > 0$.

2. Непрерывная случайная величина.

Пусть $X$ — непрерывная случайная величина, принимающая только положительные значения. Это означает, что её функция плотности вероятности $f(x)$ равна нулю для всех $x \le 0$. Математическое ожидание в этом случае определяется интегралом:

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x f(x) dx$

В области интегрирования (от 0 до $\infty$):

• Переменная $x$ положительна ($x>0$, за исключением точки 0).
• Функция плотности вероятности по определению неотрицательна: $f(x) \ge 0$.

Следовательно, подынтегральное выражение $x f(x)$ является неотрицательной функцией. Интеграл от неотрицательной функции, которая не равна тождественно нулю (поскольку $\int_{0}^{\infty} f(x) dx = 1$), всегда будет строго положительным числом. Таким образом, и в этом случае $E[X] > 0$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что если случайная величина принимает только положительные значения, ее математическое ожидание также должно быть положительным.

Ответ: нет, не может.

3 Чему равно математическое ожидание числа очков, выпавших при бросании одной игральной кости?

Математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Обозначим случайную величину как $X$. В данном случае $X$ — это число очков, выпавших при бросании одной игральной кости.

Стандартная игральная кость имеет 6 граней, поэтому возможные значения для $X$ — это {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Поскольку кость считается "честной" (правильной), вероятность выпадения каждой грани одинакова. Всего исходов 6, значит, вероятность каждого из них равна $p = \frac{1}{6}$.

Математическое ожидание $E(X)$ вычисляется по формуле:
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$
где $x_i$ — это возможное значение случайной величины, а $p_i$ — его вероятность.

Подставим наши значения:
$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$

Можно вынести общий множитель $\frac{1}{6}$ за скобки для упрощения вычислений:
$E(X) = \frac{1}{6} \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$

Сумма чисел в скобках является суммой арифметической прогрессии и равна 21.
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$

Теперь найдем конечное значение:
$E(X) = \frac{1}{6} \cdot 21 = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: 3,5.