Страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Что такое высказывание? Всякое ли утверждение является высказыванием?

Что такое высказывание?

В математической логике и информатике высказывание (также называемое суждением или пропозицией) — это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно утверждать, истинно оно или ложно. Истинность или ложность высказывания называется его значением истинности.

Основные свойства высказывания:

• Оно должно быть утверждением или отрицанием чего-либо, то есть повествовательным, а не вопросительным или побудительным предложением.
• Оно должно подчиняться закону исключённого третьего, то есть быть либо истинным, либо ложным, и не может быть ни тем, ни другим одновременно.
• Оно не может быть одновременно и истинным, и ложным (закон непротиворечия).

Примеры высказываний:

• "Волга впадает в Каспийское море." – это истинное высказывание.
• "Париж – столица Италии." – это ложное высказывание.
• "$5 > 10$." – это ложное высказывание.
• "Число 11 является простым." – это истинное высказывание.

Примеры предложений, которые не являются высказываниями:

• "Который сейчас час?" – это вопрос, у него нет значения истинности.
• "Закрой, пожалуйста, окно." – это побуждение (просьба).
• "Эта картина очень красивая." – это субъективное мнение, его истинность зависит от человека.
• "$x + 2 = 5$." – это предложение с переменной (предикат). Оно не является высказыванием, так как его истинность зависит от значения $x$. Оно станет высказыванием, если подставить вместо $x$ конкретное число (например, при $x=3$ оно станет истинным высказыванием, а при $x=4$ – ложным).

Ответ: Высказывание — это повествовательное предложение, которое является либо истинным, либо ложным.

Всякое ли утверждение является высказыванием?

Нет, не всякое утверждение (в широком смысле этого слова) является высказыванием в строгом логико-математическом понимании. Чтобы утверждение считалось высказыванием, оно должно иметь однозначное и объективное значение истинности.

Существует несколько типов утверждений, которые не являются высказываниями:

1. Субъективные утверждения. Их истинность зависит от личного мнения, вкуса или восприятия.
   Пример: "Шоколадное мороженое вкуснее ванильного."
2. Неопределенные утверждения. Утверждения, содержащие неопределенные понятия, которые не позволяют однозначно судить об их истинности.
   Пример: "Иван – высокий человек." (Понятие "высокий" не определено: для кого-то это 185 см, для другого – 200 см).
3. Предложения с переменными (предикаты). Как упоминалось выше, их истинность зависит от значения входящих в них переменных.
   Пример: "Число $y$ – чётное."
4. Парадоксальные утверждения. Утверждения, которые приводят к логическому противоречию.
   Пример: "Это утверждение ложно." (Если оно истинно, то из его содержания следует, что оно ложно. Если же оно ложно, то его содержание "это утверждение ложно" неверно, а значит, оно истинно).
5. Утверждения о будущих событиях. Истинность таких утверждений на данный момент не может быть установлена.
   Пример: "Ровно через год в это же время будет солнечная погода."

Таким образом, для того чтобы утверждение было высказыванием, оно должно быть конкретным, осмысленным и объективно проверяемым на истинность или ложность.

Ответ: Нет, не всякое утверждение является высказыванием. Высказыванием является только то утверждение, для которого можно однозначно и объективно определить, истинно оно или ложно.

2 Верно ли, что:

а) чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример, показывающий, что утверждение может быть ложным;

б) чтобы доказать утверждение, достаточно привести пример, когда оно истинно?

а) чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример, показывающий, что утверждение может быть ложным;

Да, это утверждение абсолютно верно. В логике и математике, если утверждение претендует на всеобщность (то есть должно выполняться для всех без исключения объектов из некоторого класса), то для его опровержения достаточно найти всего один объект, для которого оно не выполняется. Такой объект или случай называется контрпримером. Наличие хотя бы одного контрпримера неопровержимо доказывает, что исходное утверждение ложно.

Например, рассмотрим утверждение: "Квадрат любого действительного числа больше самого числа". Это можно записать как $x^2 > x$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Чтобы опровергнуть это, найдем контрпример. Возьмем $x = 0.5$. Тогда $x^2 = (0.5)^2 = 0.25$. Мы видим, что $0.25$ не больше $0.5$. Следовательно, $x=0.5$ — это контрпример, и исходное утверждение ложно.

Ответ: Да, верно.

б) чтобы доказать утверждение, достаточно привести пример, когда оно истинно?

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Приведение одного или даже множества примеров, в которых утверждение выполняется, не является доказательством для утверждений всеобщего характера. Такое доказательство должно представлять собой строгое логическое рассуждение, которое показывает, что утверждение истинно для всех случаев, а не только для выбранных.

Например, рассмотрим утверждение: "Для любого натурального числа $n$ выражение $n^2 + n + 41$ является простым числом". Проверим для нескольких значений:

• При $n=1$: $1^2 + 1 + 41 = 43$ (простое число).
• При $n=2$: $2^2 + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47$ (простое число).
• При $n=3$: $3^2 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53$ (простое число).

Можно продолжить проверку до $n=39$, и для всех этих случаев результат будет простым числом. Однако это не доказывает утверждение. Если мы возьмем $n=40$, то получим: $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \times 41 = 41^2$. Это число не является простым. Таким образом, $n=40$ является контрпримером, который опровергает исходное утверждение, несмотря на большое количество подтверждающих примеров.

Исключением являются "утверждения о существовании". Например, для доказательства утверждения "Существует четное простое число" достаточно привести один пример — число 2. Но вопрос, как правило, подразумевает утверждения всеобщего характера.

Ответ: Нет, неверно.

148 Известно, что $x < 14$. Дано высказывание «Число x больше числа 9».

а) Можно ли утверждать, что это высказывание истинно? Если нет, приведите пример числа x, при котором высказывание ложно.

б) Может ли это высказывание быть истинным? Если да, приведите пример числа x, при котором это высказывание истинно.

а) Утверждать, что высказывание «Число $x$ больше числа 9» истинно, нельзя. Известно, что $x < 14$. Это условие не гарантирует, что $x$ обязательно будет больше 9. Чтобы доказать, что утверждение не всегда истинно, достаточно привести контрпример — такое число $x$, для которого условие $x < 14$ выполняется, а высказывание «$x > 9$» является ложным.
Например, возьмем $x = 5$. Условие $5 < 14$ истинно. Однако высказывание «число 5 больше числа 9» ($5 > 9$) является ложным. Следовательно, нельзя утверждать, что данное высказывание истинно для любого $x < 14$.
Ответ: Нет, утверждать нельзя. Пример числа $x$, при котором высказывание ложно: $x=5$.

б) Да, это высказывание может быть истинным. Для этого нужно, чтобы одновременно выполнялись два условия:
1) $x < 14$ (согласно условию задачи).
2) $x > 9$ (чтобы данное высказывание было истинным).
Объединив эти два неравенства, получим двойное неравенство: $9 < x < 14$. Любое число $x$, принадлежащее этому интервалу, будет делать высказывание истинным.
Например, возьмем $x = 10$. Условие $10 < 14$ истинно. Высказывание «число 10 больше числа 9» ($10 > 9$) также истинно.
Ответ: Да, может. Пример числа $x$, при котором высказывание истинно: $x=10$.

149 Дано высказывание «Число $x$ меньше числа $7$».

a) Может ли данное высказывание быть истинным при $x > 6$? Если да, при- ведите пример числа $x$.

б) Может ли данное высказывание быть истинным, если $x \ge 7$? Если да, при- ведите пример.

а) Дано высказывание «Число $x$ меньше числа 7», что можно записать в виде неравенства $x < 7$. Необходимо определить, может ли это высказывание быть истинным, если выполняется условие $x > 6$. Для этого нужно найти число $x$, которое удовлетворяет обоим неравенствам одновременно: $x > 6$ и $x < 7$. Эти два условия можно объединить в двойное неравенство: $6 < x < 7$. Любое число, находящееся в интервале от 6 до 7, будет удовлетворять этому условию. Например, это может быть дробное число. Возьмем в качестве примера $x = 6,5$. Это число больше 6 ($6,5 > 6$) и одновременно меньше 7 ($6,5 < 7$). Таким образом, высказывание может быть истинным.
Ответ: Да, может. Например, при $x = 6,5$.

б) Необходимо определить, может ли высказывание $x < 7$ быть истинным, если выполняется условие $x \ge 7$. Условие $x \ge 7$ означает, что $x$ либо равен 7, либо больше 7. Рассмотрим два возможных случая: 1. Если $x = 7$, то исходное высказывание $x < 7$ становится $7 < 7$, что является ложью. 2. Если $x > 7$ (например, $x=8$), то высказывание $x < 7$ также является ложью, так как число не может быть одновременно и больше 7, и меньше 7. Следовательно, не существует такого числа $x$, для которого условия $x < 7$ и $x \ge 7$ выполнялись бы одновременно.
Ответ: Нет, не может.