Страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Рассмотрите утверждение «Если на двух игральных костях в сумме выпало 3 очка, то на одной из них выпало одно очко». Что здесь посылка? Что следствие? Является ли это утверждение истинным высказыванием?

Что здесь посылка?

В логическом утверждении формата «Если A, то B», посылка (или условие) — это часть A, которая следует за словом «Если». Это исходное предположение, истинность которого мы принимаем за основу для рассуждений.

В данном утверждении посылка — это «на двух игральных костях в сумме выпало 3 очка».

Ответ: Посылкой является утверждение «на двух игральных костях в сумме выпало 3 очка».

Что следствие?

Следствие (или заключение) — это часть B в утверждении «Если A, то B», которая следует за словом «то». Это вывод, который должен логически вытекать из посылки.

В данном утверждении следствие — это «на одной из них выпало одно очко».

Ответ: Следствием является утверждение «на одной из них выпало одно очко».

Является ли это утверждение истинным высказыванием?

Чтобы определить истинность этого утверждения, нужно проверить, всегда ли при истинности посылки будет истинным и следствие. Посылка утверждает, что «на двух игральных костях в сумме выпало 3 очка».

Рассмотрим все возможные комбинации, при которых сумма очков на двух стандартных шестигранных костях (с очками от 1 до 6) равна 3. Пусть $x_1$ — количество очков на первой кости, а $x_2$ — на второй. Нам нужно найти все пары $(x_1, x_2)$, для которых $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1, x_2 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Существуют только две такие комбинации:

• На первой кости выпало 1, на второй — 2. Пара (1, 2).
• На первой кости выпало 2, на второй — 1. Пара (2, 1).

Теперь проверим, выполняется ли для этих комбинаций следствие: «на одной из них выпало одно очко».

В первом случае (1, 2) на одной из костей действительно выпало одно очко. Во втором случае (2, 1) на одной из костей также выпало одно очко.

Поскольку во всех без исключения случаях, когда посылка верна, следствие также оказывается верным, всё утверждение является истинным.

Ответ: Да, это утверждение является истинным высказыванием.

$A \to B$ ложно, а утверждение $A$ — истинно. Истинно или ложно утверждение $B$?

Для ответа на этот вопрос необходимо воспользоваться определением логической операции импликации (следования), которая обозначается как $A \rightarrow B$ и читается «если $A$, то $B$».

Согласно правилам математической логики, импликация $A \rightarrow B$ является ложной только в одном единственном случае: когда первое утверждение (посылка $A$) истинно, а второе утверждение (следствие $B$) ложно.

Это правило можно представить в виде таблицы истинности (где И - истина, Л - ложь):

В условии задачи нам даны два факта:

1. Утверждение $A \rightarrow B$ ложно.
2. Утверждение $A$ истинно.

Обратившись к таблице истинности, мы ищем строку, где значение в столбце $A \rightarrow B$ равно "Л" (ложь). Такая строка только одна — вторая.

Теперь проверим, соответствует ли эта строка второму условию. Во второй строке значение $A$ равно "И" (истина), что полностью совпадает с условием задачи.

Следовательно, условия задачи однозначно описывают ситуацию, представленную во второй строке таблицы. В этой же строке значение утверждения $B$ равно "Л" (ложь).

Ответ: утверждение $B$ ложно.

165 Является истинным или ложным высказывание:

а) «Если $3 < 5$, то сумма внутренних углов треугольника равна $190^\circ$»;

б) «Если $5 < 3$, то сумма внутренних углов треугольника равна $190^\circ$»;

в) «Если $3 < 5$, то в равнобедренном треугольнике два угла равны»;

г) «Если $5 < 3$, то в равнобедренном треугольнике два угла равны»?

Для определения истинности или ложности данных высказываний воспользуемся правилами математической логики. Каждое высказывание представляет собой логическую импликацию вида "Если A, то B", которая записывается как $A \implies B$. Такая импликация ложна только в одном случае: когда посылка A истинна, а следствие B ложно. Во всех остальных случаях импликация считается истинной.

а) «Если 3 < 5, то сумма внутренних углов треугольника равна 190°»

В этом высказывании посылка A: "$3 < 5$". Это верное неравенство, значит, посылка истинна. Следствие B: "сумма внутренних углов треугольника равна $190^{\circ}$". Это неверное утверждение, так как сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии равна $180^{\circ}$. Значит, следствие ложно. Импликация из истинной посылки в ложное следствие ($истина \implies ложь$) является ложной.

Ответ: высказывание ложно.

б) «Если 5 < 3, то сумма внутренних углов треугольника равна 190°»

Посылка A: "$5 < 3$". Это неверное неравенство, значит, посылка ложна. Следствие B: "сумма внутренних углов треугольника равна $190^{\circ}$". Это ложное утверждение. Согласно правилу "из лжи следует что угодно", импликация с ложной посылкой всегда истинна, независимо от истинности следствия. Импликация ($ложь \implies ложь$) является истинной.

Ответ: высказывание истинно.

в) «Если 3 < 5, то в равнобедренном треугольнике два угла равны»

Посылка A: "$3 < 5$". Это истинное утверждение. Следствие B: "в равнобедренном треугольнике два угла равны". Это истинное утверждение, так как является свойством равнобедренного треугольника (углы при основании равны). Импликация из истинной посылки в истинное следствие ($истина \implies истина$) является истинной.

Ответ: высказывание истинно.

г) «Если 5 < 3, то в равнобедренном треугольнике два угла равны»

Посылка A: "$5 < 3$". Это ложное утверждение. Следствие B: "в равнобедренном треугольнике два угла равны". Это истинное утверждение. Так как посылка ложна, вся импликация является истинной. Импликация ($ложь \implies истина$) является истинной.

Ответ: высказывание истинно.

166 К утверждению «Если ..., то на этих двух игральных кубиках в сумме выпало больше 11 очков» подберите посылку, чтобы утверждение стало истинным высказыванием.

Данное утверждение представляет собой логическую импликацию (условное высказывание) в форме «Если А, то В», где А — это посылка, которую нужно найти, а В — это заключение: «на этих двух игральных кубиках в сумме выпало больше 11 очков».

Чтобы всё высказывание было истинным, необходимо, чтобы каждый раз, когда посылка А истинна, заключение В также было истинным.

Рассмотрим заключение В. При броске двух стандартных игральных кубиков (с гранями от 1 до 6) максимальная возможная сумма очков равна $6 + 6 = 12$. Условие «сумма выпавших очков больше 11» означает, что сумма может быть только равна 12, так как это единственное целое число, превосходящее 11, которое можно получить.

Сумму в 12 очков можно получить единственным способом: когда на обоих кубиках выпадает по 6 очков.

Следовательно, нам нужно подобрать такую посылку А, которая будет истинна только в этом случае. Если мы возьмем в качестве посылки утверждение, описывающее этот исход, то импликация будет истинной.

Например, можно использовать посылку: «на каждом из кубиков выпало 6 очков».

Проверим: если на каждом из кубиков выпало 6 очков (посылка А истинна), то их сумма равна $6 + 6 = 12$. Так как $12 > 11$, то заключение В («сумма больше 11 очков») также истинно. Таким образом, условное высказывание является истинным.

Ответ: на обоих кубиках выпало по 6 очков.

167 К утверждению «Если ..., то на этих двух игральных кубиках в сумме выпало 7 очков» подберите такую посылку, чтобы оно было ложным.

Данное утверждение является условным высказыванием (импликацией), которое имеет структуру «Если А, то В». Такое высказывание является ложным тогда и только тогда, когда его первая часть (посылка А) истинна, а вторая часть (заключение В) ложна. В математической логике это записывается как $(A \implies B) = \text{Ложь}$ только при $A = \text{Истина}$ и $B = \text{Ложь}$.

В нашем случае заключение В — это «на этих двух игральных кубиках в сумме выпало 7 очков». Чтобы всё утверждение было ложным, нам нужно, чтобы это заключение было ложным, а посылка А, которую мы подбираем, — истинной.

Заключение «в сумме выпало 7 очков» будет ложным, если реальная сумма очков на кубиках не равна 7. Например, если выпала комбинация (1, 1), сумма равна $1+1=2$, что не равно 7.

Теперь нам нужно сформулировать посылку А так, чтобы она была истинной для этой ситуации. Если выпала комбинация (1, 1), то истинной будет посылка «на обоих кубиках выпало по 1 очку».

Давайте проверим получившееся утверждение: «Если на обоих кубиках выпало по 1 очку, то на этих двух игральных кубиках в сумме выпало 7 очков».

В этом утверждении посылка А («на обоих кубиках выпало по 1 очку») истинна, а заключение В («в сумме выпало 7 очков») ложно, так как на самом деле сумма равна 2. Поскольку из истинной посылки следует ложное заключение, всё утверждение является ложным, что и требовалось.

Таким образом, в качестве посылки можно использовать описание любого возможного результата броска двух кубиков, при котором сумма очков не равна 7.

Ответ: на одном кубике выпало 3 очка, а на другом — 3 очка.

168 К утверждению «Если ..., то на этих двух игральных кубиках в сумме выпало 13 очков» подберите такую посылку, чтобы оно было истинным.

Данное утверждение представляет собой импликацию (логическое следование) вида «Если A, то B», где A — это посылка (условие, которое нужно подобрать), а B — это следствие («на этих двух игральных кубиках в сумме выпало 13 очков»).

Согласно правилам математической логики, импликация является истинной во всех случаях, кроме одного: когда посылка A истинна, а следствие B ложно.

Рассмотрим следствие B: «на этих двух игральных кубиках в сумме выпало 13 очков». Стандартный игральный кубик имеет грани с числами от 1 до 6. Максимальное число очков на одном кубике — 6. Следовательно, максимальная возможная сумма очков на двух кубиках составляет $6 + 6 = 12$.

Это означает, что получить в сумме 13 очков невозможно. Таким образом, следствие B всегда является ложным.

Теперь вернемся к правилу истинности импликации. Мы имеем утверждение «Если A, то B», в котором B — ложно. Чтобы всё утверждение было истинным, посылка A также обязательно должна быть ложной. Если бы посылка A была истинной, то вся импликация (из истины следует ложь) была бы ложной, что противоречит условию задачи.

Следовательно, нам нужно подобрать любую заведомо ложную посылку. Существует бесконечное множество таких посылок. Например:

• «На одном из кубиков выпало 7 очков» (ложно, так как максимум 6).
• «Сумма очков на кубиках меньше 2» (ложно, так как минимум $1 + 1 = 2$).
• «При броске двух кубиков выпало два одинаковых нечетных числа, и их сумма равна 5» (ложно, так как $1+1=2$, $3+3=6$, $5+5=10$).
• Любое другое абсурдное утверждение, например, «Дважды два равно пяти».

Выбрав любую из этих ложных посылок, мы получим истинное утверждение по принципу «из лжи следует что угодно» (лат. ex falso quodlibet).

Ответ: В качестве посылки можно взять утверждение «На одном из кубиков выпало 8 очков».

169 В жилых домах, в которых больше 5 этажей, должен быть установлен лифт. Считая, что это условие соблюдается, укажите, какие из утверждений являются истинными высказываниями:

а) «Если в доме нет лифта, то в этом доме больше 5 этажей»;

б) «Если в доме больше 6 этажей, то в нём есть лифт»;

в) «Если в доме лифта нет, то в этом доме меньше 5 этажей»;

г) «Если в доме нет лифта, то он не выше 6 этажей»;

д) «Если в доме 4 этажа, то в нём лифта нет»;

е) «Если в доме не больше 5 этажей, то в нём нет лифта»;

ж) «Если в доме есть лифт, то в этом доме есть пятый этаж».

Для решения задачи проанализируем исходное условие с точки зрения математической логики. Пусть $E$ — это количество этажей в доме, а $L$ — это истинность утверждения «в доме есть лифт». Исходное условие «В жилых домах, в которых больше 5 этажей, должен быть установлен лифт» можно записать в виде импликации (логического следования):

$E > 5 \implies L$

Это означает, что если условие $E > 5$ истинно, то и заключение $L$ должно быть истинно. Важно помнить, что из истинности импликации $A \implies B$ следует истинность её контрапозиции $\neg B \implies \neg A$. В нашем случае это означает:

$\neg L \implies \neg(E > 5)$, что эквивалентно $\neg L \implies E \le 5$.

То есть, если в доме нет лифта, то в нём 5 или меньше этажей. Теперь разберём каждое утверждение.

Это утверждение можно записать в виде формулы: $\neg L \implies E > 5$. Это прямо противоречит полученному нами ранее контрапозитивному утверждению $\neg L \implies E \le 5$. Если в доме нет лифта, то количество этажей в нем не может быть больше 5. Следовательно, это высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.

Формула этого утверждения: $E > 6 \implies L$. Если в доме больше 6 этажей ($E > 6$), то это автоматически означает, что в нём больше 5 этажей ($E > 5$). А согласно исходному условию ($E > 5 \implies L$), в таком доме должен быть лифт. Таким образом, это высказывание является истинным. Ответ: Истинное высказывание.

Формула утверждения: $\neg L \implies E < 5$. Из контрапозиции мы знаем, что если лифта нет, то этажей 5 или меньше ($\neg L \implies E \le 5$). Это условие выполняется и для дома с ровно 5 этажами. В 5-этажном доме по исходному правилу может не быть лифта. В таком случае предпосылка «в доме лифта нет» будет истинной, а заключение «в этом доме меньше 5 этажей» — ложным (так как $5 \not< 5$). Следовательно, данное высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.

Фраза «не выше 6 этажей» означает, что количество этажей меньше или равно 6 ($E \le 6$). Формула утверждения: $\neg L \implies E \le 6$. Мы знаем, что если в доме нет лифта, то в нём 5 или меньше этажей ($\neg L \implies E \le 5$). Любое число, которое меньше или равно 5, также является и меньше или равным 6. Таким образом, из истинности утверждения $\neg L \implies E \le 5$ следует истинность утверждения $\neg L \implies E \le 6$. Высказывание истинно. Ответ: Истинное высказывание.

Формула утверждения: $E = 4 \implies \neg L$. Исходное правило регулирует только дома с этажностью *больше* 5. Для домов с 4 этажами никаких требований нет. Лифт в 4-этажном доме может быть установлен (например, для удобства жильцов), и это не будет нарушением правила. Поскольку мы не можем гарантировать, что лифта нет, данное утверждение не является всегда истинным. Ответ: Ложное высказывание.

Фраза «не больше 5 этажей» означает $E \le 5$. Формула утверждения: $E \le 5 \implies \neg L$. Это утверждение не является всегда истинным. Как и в предыдущем пункте, правило не запрещает иметь лифт в домах с 5 или менее этажами. Например, в новом 5-этажном доме для комфорта жильцов может быть лифт. В этом случае посылка ($E \le 5$) истинна, а заключение ($\neg L$) ложно. Следовательно, высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.

Фраза «есть пятый этаж» означает, что количество этажей не меньше 5 ($E \ge 5$). Формула утверждения: $L \implies E \ge 5$. Это утверждение неверно, так как лифт может быть и в доме с меньшим числом этажей, например, в 3-этажном или 4-этажном. В таком случае посылка «в доме есть лифт» будет истинной, а заключение «в этом доме есть пятый этаж» — ложным. Следовательно, высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.