Страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

150 Выпишите все целые значения $n$, при которых истинно высказывание:

а) «Число $n$ не меньше 7, но меньше 10»;

б) «Число $n$ положительно, но не больше, чем 3,9».

а) Условие «число n не меньше 7» означает, что n может быть равно 7 или больше 7. Это можно записать в виде неравенства: $n \ge 7$. Условие «но меньше 10» означает, что n строго меньше 10, то есть $n < 10$. Объединяя эти два условия, мы получаем двойное неравенство: $7 \le n < 10$. Поскольку по условию задачи n — целое число, то нам подходят целые числа из этого промежутка. Это числа 7, 8, 9.
Ответ: 7, 8, 9.

б) Условие «число n положительно» означает, что n строго больше нуля. В виде неравенства это записывается так: $n > 0$. Условие «но не больше, чем 3,9» означает, что n может быть меньше или равно 3,9. В виде неравенства это записывается так: $n \le 3,9$. Объединив эти два условия, мы получаем двойное неравенство: $0 < n \le 3,9$. Так как n должно быть целым числом, то нам подходят целые числа, которые больше 0 и не больше 3,9. Это числа 1, 2, 3.
Ответ: 1, 2, 3.

151 Выпишите все целые значения m, при которых ложно высказывание:

a) «Число $m < 8$, или $m > 11$»;

б) «Модуль числа $|m| \ge 2$».

а) Исходное высказывание: «Число $m$ меньше, чем 8, или больше, чем 11». В виде неравенства это записывается как: $m < 8$ или $m > 11$.
Данное высказывание является дизъюнкцией (логическим «ИЛИ»). Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба составляющих её высказывания ложны.
Следовательно, нам нужно, чтобы одновременно выполнялись два условия:
1. Высказывание «$m < 8$» должно быть ложным. Это равносильно условию $m \ge 8$.
2. Высказывание «$m > 11$» должно быть ложным. Это равносильно условию $m \le 11$.
Таким образом, мы ищем целые числа $m$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $8 \le m \le 11$.
Перечислим все целые числа, попадающие в этот промежуток: 8, 9, 10, 11.
Ответ: 8, 9, 10, 11.

б) Исходное высказывание: «Модуль числа $m$ не меньше, чем 2».
Фраза «не меньше, чем 2» означает «больше или равно 2». В виде неравенства это записывается как: $|m| \ge 2$.
Чтобы это высказывание было ложным, должно выполняться противоположное (обратное) неравенство: $|m| < 2$.
Неравенство $|m| < 2$ равносильно двойному неравенству $-2 < m < 2$.
Мы ищем все целые значения $m$, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые больше -2 и меньше 2.
Перечислим эти целые числа: -1, 0, 1.
Ответ: -1, 0, 1.

152 Приведите пример, показывающий, что следующее высказывание ложно:

a) «В любом равнобедренном треугольнике любая высота является биссектрисой треугольника»;

б) «Два угла, сумма которых равна $180^\circ$, являются смежными».

а) Данное утверждение ложно. В равнобедренном треугольнике свойством, при котором высота является одновременно и биссектрисой (а также медианой), обладает только высота, проведенная из вершины, противолежащей основанию, к самому основанию. Высоты, проведенные из углов при основании к боковым сторонам, не являются биссектрисами, за исключением случая, когда треугольник является равносторонним.
В качестве примера рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. Пусть угол при вершине $\angle B = 30^\circ$. Тогда углы при основании равны $\angle A = \angle C = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 75^\circ$.
Проведем высоту $AD$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Треугольник $ADC$ является прямоугольным, так как $AD \perp BC$.
В прямоугольном треугольнике $ADC$ найдем угол $\angle DAC$:
$\angle DAC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.
Высота $AD$ разделила угол $\angle BAC$ на два угла: $\angle DAC = 15^\circ$ и $\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$.
Так как $15^\circ \neq 60^\circ$, высота $AD$ не является биссектрисой угла $\angle BAC$.

Ответ: В равнобедренном треугольнике с углами $75^\circ$, $75^\circ$ и $30^\circ$ высота, проведенная из вершины с углом $75^\circ$ к противолежащей боковой стороне, не является биссектрисой этого угла.

б) Данное утверждение ложно. Согласно определению, смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами). Сумма смежных углов действительно равна $180^\circ$, однако не всякие два угла, сумма которых равна $180^\circ$, являются смежными.
Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример.
Рассмотрим два противолежащих угла любого прямоугольника. Например, в прямоугольнике $ABCD$ углы $\angle A$ и $\angle C$.
Каждый из них равен $90^\circ$. Их сумма составляет: $\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Однако углы $\angle A$ и $\angle C$ не являются смежными, поскольку у них нет общей стороны. Они имеют разные вершины и разделены диагональю прямоугольника. Следовательно, мы нашли пример двух углов, которые в сумме дают $180^\circ$, но не удовлетворяют определению смежных углов.
Другой простой пример: два отдельных друг от друга прямых угла. Их сумма $180^\circ$, но они не смежные.

Ответ: Два противоположных угла прямоугольника. Их сумма равна $180^\circ$, но они не являются смежными, так как не имеют общей стороны.

153 Приведите контрпример (пример, показывающий, что высказывание не является истинным) к высказыванию:

a) «Если медиана треугольника не является его высотой, то такой треугольник не является равнобедренным»;

б) «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны».

а)

Чтобы найти контрпример к высказыванию «Если медиана треугольника не является его высотой, то такой треугольник не является равнобедренным», нам нужно найти пример, где условие выполняется, а заключение — нет. То есть, нам нужен равнобедренный треугольник, в котором хотя бы одна медиана не является его высотой.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AB = AC$), а основание — $BC$. Пусть этот треугольник не является равносторонним (например, со сторонами 5, 5 и 8).

В этом треугольнике проведем медиану $BM$ из вершины $B$ к боковой стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике свойством совпадения с высотой и биссектрисой обладает только медиана, проведенная к основанию. Медиана $BM$, проведенная к боковой стороне, не будет перпендикулярна этой стороне, то есть не будет являться высотой.

Таким образом, для медианы $BM$ условие «медиана треугольника не является его высотой» истинно. Однако, по нашему построению, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Это делает заключение «такой треугольник не является равнобедренным» ложным.

Следовательно, любой неравносторонний равнобедренный треугольник является контрпримером.

Ответ: Любой равнобедренный, но не равносторонний треугольник. Например, в треугольнике со сторонами 5 см, 5 см и 6 см медиана, проведенная к стороне длиной 5 см, не является высотой, однако сам треугольник — равнобедренный.

б)

Чтобы найти контрпример к высказыванию «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны», нужно найти два треугольника, у которых два соответствующих угла равны, но сами треугольники не равны (т.е. не конгруэнтны).

Условие равенства двух углов одного треугольника двум углам другого является признаком подобия треугольников (по двум углам), а не их равенства. Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разный размер.

Рассмотрим два равносторонних треугольника:

1. Треугольник $\triangle ABC$ с длиной стороны 3 см. Все его углы равны $60^\circ$.

2. Треугольник $\triangle A'B'C'$ с длиной стороны 5 см. Все его углы также равны $60^\circ$.

В этих треугольниках два (и даже все три) угла одного треугольника равны двум углам другого: $\angle A = \angle A' = 60^\circ$, $\angle B = \angle B' = 60^\circ$. Таким образом, условие высказывания выполняется.

Однако эти треугольники не равны, так как их соответствующие стороны имеют разную длину (3 см $\neq$ 5 см). Следовательно, заключение «такие треугольники равны» является ложным.

Ответ: Любые два подобных, но не конгруэнтных треугольника. Например, равносторонний треугольник со стороной 3 см и равносторонний треугольник со стороной 5 см.

154 В пенале 5 синих карандашей и 4 жёлтых. Какие из следующих высказываний истинны:

а) «Среди любых 5 карандашей из пенала обязательно будет синий»;

б) «Любые 3 карандаша из этого пенала одного цвета»;

в) «Среди любых 6 карандашей из пенала обязательно будет 2 жёлтых»?

а) «Среди любых 5 карандашей из пенала обязательно будет синий»
Для проверки этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле. Рассмотрим самый неблагоприятный случай: мы хотим взять 5 карандашей, но стараемся, чтобы среди них не было синего. Для этого мы должны сначала брать карандаши других цветов. В пенале 4 жёлтых карандаша. Мы можем вытащить все 4 жёлтых карандаша. После этого в пенале останутся только синие. Чтобы набрать группу из 5 карандашей, нам придётся взять ещё один. Этот пятый карандаш обязательно будет синим. Таким образом, в любой группе из 5 карандашей, взятых из этого пенала, как минимум один будет синим.
Ответ: истинно.

б) «Любые 3 карандаша из этого пенала одного цвета»
Это утверждение было бы истинным, если бы невозможно было составить набор из 3 карандашей, в котором есть карандаши разных цветов. Однако это возможно. Например, мы можем взять 2 синих карандаша и 1 жёлтый. Это набор из 3 карандашей, но они не одного цвета. Так как мы нашли контрпример, утверждение является ложным.
Ответ: ложно.

в) «Среди любых 6 карандашей из пенала обязательно будет 2 жёлтых»?
Снова рассмотрим наихудший сценарий. Мы хотим взять 6 карандашей, но стараемся, чтобы среди них было как можно меньше жёлтых. Для этого мы сначала будем брать карандаши другого цвета — синие. В пенале 5 синих карандашей. Мы можем вытащить их все. На данный момент у нас 5 карандашей, и все они синие. Чтобы получить группу из 6 карандашей, мы должны вытащить ещё один. Он обязательно будет жёлтым. В результате мы получим набор из 5 синих и 1 жёлтого карандаша. Это набор из 6 карандашей, но в нём только один жёлтый, а не два. Следовательно, утверждение неверно. Чтобы гарантированно вытащить 2 жёлтых карандаша, нужно взять $5 \text{ (все синие)} + 2 \text{ (жёлтых)} = 7$ карандашей.
Ответ: ложно.

155 В пенале 6 синих карандашей и 3 жёлтых. Какие из следующих высказываний истинны:

а) «Среди любых четырёх карандашей из пенала обязательно будет синий»;

б) «7 карандашей, выбранных из пенала, могут оказаться одного цвета»;

в) «Любые 3 карандаша из пенала одного цвета»;

г) «Среди любых восьми карандашей из пенала обязательно 2 жёлтых»?

В пенале находятся 6 синих и 3 жёлтых карандаша. Всего $6 + 3 = 9$ карандашей. Проанализируем каждое высказывание.

а) «Среди любых четырёх карандашей из пенала обязательно будет синий»

Рассмотрим наихудший случай, когда мы пытаемся выбрать 4 карандаша без синего. Это означает, что мы выбираем только жёлтые карандаши. В пенале всего 3 жёлтых карандаша. Таким образом, мы можем вытащить максимум 3 карандаша, и все они будут жёлтыми. Если мы вытащим четвёртый карандаш, он уже не может быть жёлтым, так как все жёлтые закончились. Следовательно, четвёртый карандаш обязательно будет синим. Этот метод рассуждения использует принцип Дирихле. Если взять $3$ (количество жёлтых карандашей) $+ 1 = 4$ карандаша, то по крайней мере один из них гарантированно будет синим.
Ответ: Истина

б) «7 карандашей, выбранных из пенала, могут оказаться одного цвета»

Чтобы 7 карандашей оказались одного цвета, они должны быть либо все синие, либо все жёлтые. В пенале 6 синих карандашей, что меньше 7. Значит, невозможно выбрать 7 синих карандашей. В пенале 3 жёлтых карандаша, что также меньше 7. Значит, невозможно выбрать 7 жёлтых карандашей. Следовательно, нельзя выбрать 7 карандашей одного цвета.
Ответ: Ложь

в) «Любые 3 карандаша из пенала одного цвета»

Слово «любые» означает, что абсолютно всякая группа из трёх карандашей должна быть одного цвета. Чтобы проверить это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример — набор из трёх карандашей, которые не являются одноцветными. Например, мы можем выбрать 2 синих и 1 жёлтый карандаш. Это набор из 3 карандашей, но они не одного цвета. Так как существует набор из 3 карандашей разного цвета, утверждение является ложным.
Ответ: Ложь

г) «Среди любых восьми карандашей из пенала обязательно 2 жёлтых»?

Всего в пенале 9 карандашей. Если мы выбираем 8 карандашей, то в пенале остаётся $9 - 8 = 1$ карандаш. Рассмотрим два возможных случая для оставшегося карандаша:
1. Оставшийся карандаш — синий. Тогда мы выбрали 5 синих (так как один из 6 остался) и все 3 жёлтых карандаша. В нашей группе из 8 карандашей 3 жёлтых.
2. Оставшийся карандаш — жёлтый. Тогда мы выбрали все 6 синих и 2 жёлтых карандаша (так как один из 3 остался). В нашей группе из 8 карандашей 2 жёлтых.
В обоих случаях количество жёлтых карандашей в группе из восьми равно 2 или 3. Минимальное количество жёлтых карандашей, которое обязательно будет среди 8 выбранных — это 2. Следовательно, утверждение о том, что среди любых восьми карандашей обязательно будет 2 жёлтых (то есть, как минимум 2 жёлтых), является истинным.
Ответ: Истина

156 Известно, что натуральное число $x$ делится на $12$. Какие из утверждений являются истинными высказываниями:

а) «$x$ делится на $6$»;

б) «Последняя цифра числа $x$ чётная»;

в) «$144$ делится на $x$»;

г) «$x$ делится на $9$»?

По условию, натуральное число $x$ делится на 12. Это означает, что $x$ можно представить в виде $x = 12k$, где $k$ – некоторое натуральное число ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$). Проанализируем каждое утверждение.

а) «x делится на 6»

Если число делится на 12, оно также делится на все делители числа 12. Делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Так как 6 является делителем 12, то любое число, делящееся на 12, будет делиться и на 6. Математически: поскольку $x = 12k$, мы можем записать $x = (2 \cdot 6)k = 6 \cdot (2k)$. Так как $2k$ является натуральным числом, то $x$ делится на 6 без остатка. Следовательно, это утверждение истинно.
Ответ: истинно.

б) «Последняя цифра числа x чётная»

Чётность последней цифры означает, что само число является чётным, то есть делится на 2. Поскольку $x$ делится на 12, мы можем записать $x = 12k$. Так как $12$ — чётное число ($12 = 2 \cdot 6$), то и произведение $12k$ будет чётным при любом натуральном $k$. $x = 12k = (2 \cdot 6)k = 2 \cdot (6k)$. Это доказывает, что $x$ всегда делится на 2, то есть является чётным. Все чётные числа оканчиваются на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8, которые являются чётными. Следовательно, это утверждение истинно.
Ответ: истинно.

в) «144 делится на x»

Это утверждение означает, что $x$ является делителем числа 144. Из условия мы знаем, что $x$ — это любое натуральное число, кратное 12. Например, $x$ может быть равно $12, 24, 36, 48$ и так далее. Проверим для нескольких значений $x$: Если $x=12$, то $144 / 12 = 12$. Утверждение верно. Если $x=24$, то $144 / 24 = 6$. Утверждение верно. Однако, $x$ может принимать и другие значения, кратные 12. Возьмём, к примеру, $x = 12 \cdot 13 = 156$. Число 156 делится на 12, но 144 не делится на 156, так как $144 < 156$. Поскольку мы нашли контрпример, утверждение не является истинным для всех возможных значений $x$. Следовательно, это утверждение ложно.
Ответ: ложно.

г) «x делится на 9»

Это утверждение означает, что любое число, кратное 12, также должно быть кратно 9. Разложим 12 и 9 на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Чтобы число делилось на 9, в его разложении на простые множители должно быть как минимум $3^2$. Число $x = 12k = 2^2 \cdot 3 \cdot k$. Чтобы $x$ делилось на 9, множитель $k$ должен быть кратен 3. Однако, $k$ может быть любым натуральным числом. Возьмём простейший пример: пусть $k=1$, тогда $x=12$. Число 12 не делится на 9. Другой пример: пусть $k=2$, тогда $x=24$. Число 24 не делится на 9. Поскольку существуют числа, делящиеся на 12, но не делящиеся на 9, это утверждение ложно.
Ответ: ложно.

157 Площадь прямоугольника равна 36. Известно, что длины его сторон — натуральные числа. Про какие из следующих утверждений можно сказать, что они являются истинными высказываниями?

а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число».

б) «Этот прямоугольник является квадратом».

в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем 72».

г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем 75».

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, а площадь $S = a \cdot b = 36$.

Найдем все возможные пары натуральных чисел $(a, b)$, произведение которых равно 36:

• 1 и 36
• 2 и 18
• 3 и 12
• 4 и 9
• 6 и 6

Теперь проверим каждое из утверждений для всех этих возможных пар сторон. Утверждение является истинным высказыванием, только если оно выполняется для всех без исключения случаев.

а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число»
Проверим это утверждение для каждой пары:

• Для сторон (1, 36): 36 — чётное число. Утверждение верно.
• Для сторон (2, 18): оба числа чётные. Утверждение верно.
• Для сторон (3, 12): 12 — чётное число. Утверждение верно.
• Для сторон (4, 9): 4 — чётное число. Утверждение верно.
• Для сторон (6, 6): 6 — чётное число. Утверждение верно.

Утверждение выполняется для всех возможных вариантов. Альтернативное рассуждение: произведение двух нечётных чисел всегда нечётно. Так как площадь (произведение сторон) равна 36, то есть чётному числу, то невозможно, чтобы обе стороны были нечётными. Следовательно, хотя бы одна из сторон должна быть чётной.
Ответ: утверждение является истинным высказыванием.

б) «Этот прямоугольник является квадратом»
Прямоугольник является квадратом, если его стороны равны ($a=b$). Среди всех возможных пар сторон есть только одна пара с равными сторонами: (6, 6). Однако, существуют и другие варианты, например, прямоугольник со сторонами 1 и 36, который не является квадратом. Так как утверждение не выполняется для всех возможных случаев, оно не является истинным высказыванием.
Ответ: утверждение не является истинным высказыванием.

в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем 72»
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Рассчитаем периметр для нескольких случаев, чтобы проверить утверждение:

• Стороны (1, 36): $P = 2(1+36) = 74$. В этом случае $P > 72$.
• Стороны (2, 18): $P = 2(2+18) = 40$. В этом случае $P$ не больше 72.

Поскольку мы нашли хотя бы один случай (например, со сторонами 2 и 18), когда периметр не больше 72, данное утверждение не является истинным для всех возможных прямоугольников.
Ответ: утверждение не является истинным высказыванием.

г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем 75»
Рассчитаем периметры для всех возможных случаев:

• Стороны (1, 36): $P = 2(1+36) = 74$. $74 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (2, 18): $P = 2(2+18) = 40$. $40 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (3, 12): $P = 2(3+12) = 30$. $30 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (4, 9): $P = 2(4+9) = 26$. $26 < 75$. Утверждение верно.
• Стороны (6, 6): $P = 2(6+6) = 24$. $24 < 75$. Утверждение верно.

Наибольший периметр получается у самого "вытянутого" прямоугольника со сторонами 1 и 36, и он равен 74. Все остальные возможные периметры меньше этого значения. Так как максимальный возможный периметр равен 74, он в любом случае будет меньше 75. Таким образом, это утверждение истинно для всех возможных прямоугольников.
Ответ: утверждение является истинным высказыванием.