Страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Как называются два утверждения, которые одновременно истинны или одновременно ложны?

Два утверждения, которые одновременно истинны или одновременно ложны, называются равносильными или эквивалентными.

В математической логике это означает, что они имеют одинаковое истинностное значение. Если обозначить два утверждения как $A$ и $B$, то их равносильность (обозначается как $A \leftrightarrow B$ или $A \equiv B$) является истинной тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ оба истинны или оба ложны. Если же одно утверждение истинно, а другое ложно, то их эквивалентность будет ложной.

Например:

• Утверждения "Число 6 — четное" (истина) и "Вода кипит при 100°C при нормальном давлении" (истина) являются равносильными.
• Утверждения "Земля плоская" (ложь) и "2+2=5" (ложь) также являются равносильными.
• А утверждения "Волга впадает в Каспийское море" (истина) и "Луна сделана из сыра" (ложь) не являются равносильными.

Ответ: Равносильные (или эквивалентные).

2 Приведите пример истинного высказывания, обратное к которому не является истинным.

Условное высказывание (также называемое импликацией) имеет форму «Если A, то B», где A — это условие (посылка), а B — следствие (заключение). В логике это записывается как $A \rightarrow B$.

Обратное высказывание получается путем замены условия и следствия местами: «Если B, то A». В логической форме: $B \rightarrow A$.

Задача состоит в том, чтобы найти такое высказывание $A \rightarrow B$, которое является истинным, в то время как обратное ему высказывание $B \rightarrow A$ является ложным.

Пример

Рассмотрим следующее высказывание из геометрии:

«Если четырехугольник является квадратом, то он является прямоугольником».

Это высказывание истинно. По определению, квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, любой квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.

Теперь сформулируем обратное к нему высказывание:

«Если четырехугольник является прямоугольником, то он является квадратом».

Это высказывание ложно. Можно легко привести контрпример: прямоугольник со сторонами 5 см и 7 см не является квадратом, так как его стороны не равны. Таким образом, из того, что фигура — прямоугольник, не следует, что она обязательно квадрат.

Мы нашли пример истинного высказывания, обратное к которому ложно.

Ответ: «Если фигура — квадрат, то она является прямоугольником». Это утверждение истинно. Обратное ему утверждение «Если фигура — прямоугольник, то она является квадратом» — ложно.

3 Приведите пример теоремы-признака, известной вам из геометрии.

Теорема-признак — это утверждение, которое даёт достаточное условие для того, чтобы объект обладал некоторым свойством. В геометрии такие теоремы позволяют по известным элементам фигуры заключить, что это за фигура или каким свойством она обладает.

В качестве примера можно привести один из признаков параллельности двух прямых.

Формулировка теоремы звучит так: если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ третьей прямой (секущей) $c$ накрест лежащие углы равны, то прямые $a$ и $b$ параллельны.

Здесь условием (то есть, самим признаком) является равенство накрест лежащих углов. Если это условие выполняется, например, $\angle 1 = \angle 2$, то мы можем сделать вывод (заключение теоремы), что прямые параллельны: $a \parallel b$. Эта теорема позволяет нам распознать параллельность прямых по равенству определённых углов.

Ответ: Признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

172 Постройте утверждение, обратное данному:

а) «Если предмет сделан из дерева, то он не тонет в воде».

б) «Если число оканчивается двумя нулями, то оно делится на 100».

в) «Если у человека отчество Дмитриевич, то его отца зовут Дмитрий».

г) «Если животное — кошка, то у него четыре лапы».

а) Исходное утверждение имеет логическую структуру «Если A, то B», где условие A — «предмет сделан из дерева», а заключение B — «он не тонет в воде». Чтобы построить обратное утверждение, необходимо поменять местами условие и заключение, получив структуру «Если B, то A».

Применяя это правило, получаем обратное утверждение: «Если предмет не тонет в воде, то он сделан из дерева». Стоит отметить, что данное обратное утверждение является ложным, поскольку в воде не тонут и многие другие предметы, сделанные не из дерева (например, пластиковый мяч или пенопласт).

Ответ: Если предмет не тонет в воде, то он сделан из дерева.

б) Исходное утверждение: «Если число оканчивается двумя нулями, то оно делится на $100$». Условие A: «число оканчивается двумя нулями». Заключение B: «оно делится на $100$». Строим обратное утверждение по схеме «Если B, то A».

Обратное утверждение: «Если число делится на $100$, то оно оканчивается двумя нулями». В данном случае и исходное, и обратное утверждения являются истинными. Такие утверждения в математике называют равносильными или эквивалентными.

Ответ: Если число делится на $100$, то оно оканчивается двумя нулями.

в) Исходное утверждение: «Если у человека отчество Дмитриевич, то его отца зовут Дмитрий». Условие A: «у человека отчество Дмитриевич». Заключение B: «его отца зовут Дмитрий». Обратным будет утверждение «Если B, то A».

Обратное утверждение: «Если отца человека зовут Дмитрий, то у этого человека отчество Дмитриевич». Исходя из правил образования отчеств в русском языке для лиц мужского пола, это утверждение также истинно.

Ответ: Если отца человека зовут Дмитрий, то у этого человека отчество Дмитриевич.

г) Исходное утверждение: «Если животное — кошка, то у него четыре лапы». Условие A: «животное — кошка». Заключение B: «у него четыре лапы». Строим обратное утверждение «Если B, то A».

Обратное утверждение: «Если у животного четыре лапы, то это животное — кошка». Исходное утверждение в общем случае истинно, однако обратное ему утверждение ложно, так как четыре лапы есть у подавляющего большинства наземных млекопитающих (например, у собак, коров, тигров и т.д.), а не только у кошек.

Ответ: Если у животного четыре лапы, то это животное — кошка.

173 Рассмотрим утверждения:

A: «Натуральное число $N$ делится на 3»,

B: «Натуральное число $N$ делится на 9»,

C: «Сумма цифр натурального числа $N$ делится на 3»,

D: «Сумма цифр натурального числа $N$ делится на 9».

Запишите символически с помощью букв и стрелок следующее утверждение и обратное к нему:

a) «Если сумма цифр натурального числа $N$ делится на 9, то это число делится на 3».

Утверждение: $D \implies A$

Обратное к нему: $A \implies D$

б) «Если натуральное число $N$ делится на 9, то сумма цифр этого числа делится на 3».

Утверждение: $B \implies C$

Обратное к нему: $C \implies B$

Какие из этих утверждений являются истинными высказываниями?

а)

Исходное утверждение: «Если сумма цифр натурального числа N делится на 9, то это число делится на 3». В символической форме это утверждение $D \Rightarrow A$.

Обратное утверждение: «Если натуральное число N делится на 3, то сумма цифр этого числа делится на 9». В символической форме это утверждение $A \Rightarrow D$.

Проверим истинность этих высказываний.
Утверждение $D \Rightarrow A$ истинно. Согласно признаку делимости на 9, если сумма цифр числа делится на 9 (утверждение D), то и само число делится на 9. А любое число, которое делится на 9, также делится и на 3, так как $9 = 3 \cdot 3$. Следовательно, из D следует A.
Утверждение $A \Rightarrow D$ ложно. Можно привести контрпример: число N=3. Оно делится на 3 (утверждение А истинно), но сумма его цифр (3) не делится на 9 (утверждение D ложно).

Ответ: Прямое утверждение ($D \Rightarrow A$) истинно, а обратное ($A \Rightarrow D$) — ложно.

б)

Исходное утверждение: «Если натуральное число N делится на 9, то сумма цифр этого числа делится на 3». В символической форме это утверждение $B \Rightarrow C$.

Обратное утверждение: «Если сумма цифр натурального числа N делится на 3, то это число делится на 9». В символической форме это утверждение $C \Rightarrow B$.

Проверим истинность этих высказываний.
Утверждение $B \Rightarrow C$ истинно. Если число N делится на 9 (B), то по признаку делимости на 9, сумма его цифр также делится на 9. Так как 9 делится на 3, то и сумма цифр числа N делится на 3 (C).
Утверждение $C \Rightarrow B$ ложно. Контрпример: для числа 12 сумма цифр равна $1+2=3$. Сумма цифр делится на 3 (утверждение С истинно), но само число 12 не делится на 9 (утверждение B ложно).

Ответ: Прямое утверждение ($B \Rightarrow C$) истинно, а обратное ($C \Rightarrow B$) — ложно.