Номер 173, страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

173 Рассмотрим утверждения:

A: «Натуральное число $N$ делится на 3»,

B: «Натуральное число $N$ делится на 9»,

C: «Сумма цифр натурального числа $N$ делится на 3»,

D: «Сумма цифр натурального числа $N$ делится на 9».

Запишите символически с помощью букв и стрелок следующее утверждение и обратное к нему:

a) «Если сумма цифр натурального числа $N$ делится на 9, то это число делится на 3».

Утверждение: $D \implies A$

Обратное к нему: $A \implies D$

б) «Если натуральное число $N$ делится на 9, то сумма цифр этого числа делится на 3».

Утверждение: $B \implies C$

Обратное к нему: $C \implies B$

Какие из этих утверждений являются истинными высказываниями?

а)

Исходное утверждение: «Если сумма цифр натурального числа N делится на 9, то это число делится на 3». В символической форме это утверждение $D \Rightarrow A$.

Обратное утверждение: «Если натуральное число N делится на 3, то сумма цифр этого числа делится на 9». В символической форме это утверждение $A \Rightarrow D$.

Проверим истинность этих высказываний.
Утверждение $D \Rightarrow A$ истинно. Согласно признаку делимости на 9, если сумма цифр числа делится на 9 (утверждение D), то и само число делится на 9. А любое число, которое делится на 9, также делится и на 3, так как $9 = 3 \cdot 3$. Следовательно, из D следует A.
Утверждение $A \Rightarrow D$ ложно. Можно привести контрпример: число N=3. Оно делится на 3 (утверждение А истинно), но сумма его цифр (3) не делится на 9 (утверждение D ложно).

Ответ: Прямое утверждение ($D \Rightarrow A$) истинно, а обратное ($A \Rightarrow D$) — ложно.

б)

Исходное утверждение: «Если натуральное число N делится на 9, то сумма цифр этого числа делится на 3». В символической форме это утверждение $B \Rightarrow C$.

Обратное утверждение: «Если сумма цифр натурального числа N делится на 3, то это число делится на 9». В символической форме это утверждение $C \Rightarrow B$.

Проверим истинность этих высказываний.
Утверждение $B \Rightarrow C$ истинно. Если число N делится на 9 (B), то по признаку делимости на 9, сумма его цифр также делится на 9. Так как 9 делится на 3, то и сумма цифр числа N делится на 3 (C).
Утверждение $C \Rightarrow B$ ложно. Контрпример: для числа 12 сумма цифр равна $1+2=3$. Сумма цифр делится на 3 (утверждение С истинно), но само число 12 не делится на 9 (утверждение B ложно).

Ответ: Прямое утверждение ($B \Rightarrow C$) истинно, а обратное ($C \Rightarrow B$) — ложно.