Номер 170, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

170 Выходя на улицу, Анна Дмитриевна обязательно надевает перчатки. Какие из следующих высказываний истинны:

а) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она дома»;

б) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она не на улице»;

в) «Если Анна Дмитриевна в перчатках, значит, она на улице»;

г) «Если Анна Дмитриевна на улице, значит, она в перчатках»;

д) «Если Анна Дмитриевна дома, значит, она без перчаток»?

Для решения этой задачи воспользуемся методами математической логики. Основное условие задачи: "Выходя на улицу, Анна Дмитриевна обязательно надевает перчатки".

Введем два логических высказывания:

• $У$: "Анна Дмитриевна на улице".
• $П$: "Анна Дмитриевна в перчатках".

Тогда исходное условие можно записать в виде импликации: $У \implies П$. Это означает: "Если Анна Дмитриевна на улице, то она в перчатках". Эта импликация является истинной по условию задачи. Проанализируем каждое из предложенных высказываний.

а) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она дома»

Высказывание "Анна Дмитриевна без перчаток" является отрицанием высказывания $П$, то есть $\neg П$. Высказывание "она дома" является отрицанием высказывания $У$ (так как "дома" — это противоположность "на улице"), то есть $\neg У$. Таким образом, данное утверждение можно записать в виде импликации: $\neg П \implies \neg У$. В логике такая импликация называется контрапозицией исходной импликации $У \implies П$. Импликация и её контрапозиция всегда логически эквивалентны. Поскольку исходное утверждение $У \implies П$ истинно, то и контрапозиция $\neg П \implies \neg У$ также истинна.

Ответ: Истинно.

б) «Если Анна Дмитриевна без перчаток, значит, она не на улице»

Это высказывание по сути является переформулировкой высказывания (а). "Анна Дмитриевна без перчаток" — это $\neg П$. "Она не на улице" — это $\neg У$. Импликация: $\neg П \implies \neg У$. Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, это контрапозиция исходного утверждения, и она истинна, так как логически эквивалентна истинному по условию утверждению.

Ответ: Истинно.

в) «Если Анна Дмитриевна в перчатках, значит, она на улице»

Это высказывание можно записать как $П \implies У$. Такая импликация называется обратной к исходной ($У \implies П$). Истинность прямой импликации не гарантирует истинность обратной. Из условия мы знаем, что если она на улице, то она точно в перчатках. Но это не исключает возможность того, что она может быть в перчатках и не на улице (например, дома, если ей холодно, или она просто решила их надеть). Следовательно, это утверждение не обязательно является истинным.

Ответ: Ложно.

г) «Если Анна Дмитриевна на улице, значит, она в перчатках»

Это высказывание является прямой словесной формулировкой исходного условия. "Анна Дмитриевна на улице" — это $У$. "Она в перчатках" — это $П$. Импликация: $У \implies П$. По условию задачи это утверждение истинно.

Ответ: Истинно.

д) «Если Анна Дмитриевна дома, значит, она без перчаток?»

Высказывание "Анна Дмитриевна дома" — это $\neg У$. Высказывание "она без перчаток" — это $\neg П$. Получаем импликацию $\neg У \implies \neg П$. Такая импликация называется противоположной (инверсией) к исходной ($У \implies П$). Истинность прямой импликации не гарантирует истинность противоположной. Как и в пункте (в), Анна Дмитриевна может быть дома ($\neg У$ истинно), но при этом носить перчатки ($П$ истинно, а значит $\neg П$ ложно). В этом случае из истинной посылки следует ложное заключение, что делает всю импликацию ложной. Следовательно, это утверждение не обязательно является истинным.

Ответ: Ложно.