Номер 171, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

171 Даны три высказывания:

A «Число $x$ делится на 3»,

B «Число $x$ делится на 6»,

C «Число $x$ чётно».

Какие из следующих высказываний истинны при любом значении $x$:

a) $A \to B$;

б) $B \to A$;

в) $B \to C$?

Для решения этой задачи проанализируем каждое логическое следование (импликацию) отдельно. Высказывание в форме $P \rightarrow Q$ (читается как "если P, то Q") истинно для всех случаев, кроме того, когда посылка P истинна, а следствие Q ложно. Нам нужно определить, какие из предложенных высказываний верны для любого целого числа $x$.

а) A → B

Данное высказывание означает: "Если число $x$ делится на 3, то оно делится на 6".
Чтобы проверить это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример. Возьмем число $x = 9$.
Высказывание A: "Число 9 делится на 3" — это истина.
Высказывание B: "Число 9 делится на 6" — это ложь.
Поскольку мы нашли пример, где посылка (A) истинна, а следствие (B) ложно, то вся импликация $A \rightarrow B$ не является истинной для любого значения $x$.

Ответ: высказывание ложно.

б) B → A

Данное высказывание означает: "Если число $x$ делится на 6, то оно делится на 3".
Если число $x$ делится на 6, то его можно представить в виде $x = 6 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число. Это равенство можно переписать как $x = (3 \cdot 2) \cdot k = 3 \cdot (2k)$. Поскольку произведение $2k$ также является целым числом, это доказывает, что $x$ всегда делится на 3.
Не существует числа, которое делилось бы на 6, но не делилось бы на 3. Таким образом, из истинности B всегда следует истинность A. Высказывание $B \rightarrow A$ является истинным для любого $x$.

Ответ: высказывание истинно.

в) B → C

Данное высказывание означает: "Если число $x$ делится на 6, то оно чётно".
Высказывание C "Число $x$ чётно" эквивалентно утверждению "Число $x$ делится на 2".
Если число $x$ делится на 6, то $x = 6 \cdot k$ для некоторого целого $k$. Перепишем это равенство как $x = (2 \cdot 3) \cdot k = 2 \cdot (3k)$. Так как $3k$ — это целое число, то $x$ всегда делится на 2, то есть является чётным.
Невозможно найти число, которое делится на 6 и при этом является нечётным. Следовательно, из истинности B всегда следует истинность C. Высказывание $B \rightarrow C$ является истинным для любого $x$.

Ответ: высказывание истинно.