Номер 175, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

175 Предположим, что $N$ — некоторое натуральное число. Найдите равносильные утверждения.

A: «Число $N$ чётное».

B: «Число $N$ равно $2k$ для некоторого натурального числа $k$».

C: «Число $N$ даёт остаток 2 при делении на 4».

D: «Число $N$ заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8».

E: «Число $N$ делится на 2, но не делится на 4».

Для того чтобы найти равносильные (эквивалентные) утверждения, необходимо определить, какие из них описывают одно и то же множество натуральных чисел $N$. Проанализируем каждое утверждение.

A: «Число N чётное».
По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Для натуральных чисел $N$ это означает, что $N$ принадлежит множеству $\{2, 4, 6, 8, 10, \ldots\}$.

B: «Число N равно 2k для некоторого натурального числа k».
Это утверждение является математической формулировкой определения чётного натурального числа. Если $k$ — натуральное число ($k \ge 1$), то $N$ принимает значения $2, 4, 6, \ldots$. Множество чисел, удовлетворяющих этому условию, совпадает с множеством чётных натуральных чисел. Следовательно, утверждение B равносильно утверждению A.

C: «Число N даёт остаток 2 при делении на 4».
Это означает, что $N$ можно представить в виде $N = 4m + 2$, где $m$ — целое неотрицательное число ($m \ge 0$). Примеры таких чисел: $2$ (при $m=0$), $6$ (при $m=1$), $10$ (при $m=2$). Все эти числа чётные, но они не составляют всё множество чётных чисел (например, число 4 не входит в эту последовательность). Значит, утверждение C не равносильно утверждениям A и B.

D: «Число N заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8».
Это является признаком делимости на 2. Любое натуральное число чётно тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна (0, 2, 4, 6 или 8). Таким образом, это утверждение описывает то же самое множество чисел, что и утверждение A. Следовательно, утверждение D равносильно утверждениям A и B.

E: «Число N делится на 2, но не делится на 4».
Это означает, что $N$ — чётное число, не кратное 4. Любое чётное число можно представить в виде $N=2k$. Если $N$ не делится на 4, то $k$ должно быть нечётным. Пусть $k = 2m+1$ для некоторого целого $m \ge 0$. Тогда $N = 2(2m+1) = 4m+2$. Это в точности совпадает с множеством чисел из утверждения C. Следовательно, утверждение E равносильно утверждению C.

По итогам анализа можно выделить две группы равносильных утверждений:
1. Утверждения A, B и D, которые все описывают множество всех чётных натуральных чисел.
2. Утверждения C и E, которые описывают множество чётных натуральных чисел, не делящихся на 4.

Ответ: Равносильными являются две группы утверждений: 1) A, B и D; 2) C и E.