Номер 177, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

177 В ящике лежат 20 синих и 20 зелёных носков. Докажите, что если наугад вынуть из ящика три носка, хотя бы два из них окажутся одного цвета.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом, известным как принцип Дирихле (или принцип ящиков). Этот принцип гласит: если необходимо разместить $N$ объектов по $M$ ящикам, и количество объектов $N$ больше количества ящиков $M$ ($N > M$), то как минимум в одном ящике окажется более одного объекта.

Применим этот принцип к нашей задаче:

• «Объектами» являются носки, которые мы вынимаем из ящика. По условию, мы вынимаем $3$ носка. Следовательно, $N = 3$.
• «Ящиками» являются возможные цвета носков. У нас есть носки только двух цветов: синие и зелёные. Следовательно, $M = 2$.

Поскольку количество вынимаемых носков ($3$) больше, чем количество возможных цветов ($2$), то, согласно принципу Дирихле, как минимум два из вынутых носков обязательно окажутся одного цвета.

Можно также использовать рассуждение от противного (рассмотреть наихудший случай):

1. Допустим, мы хотим вынуть $3$ носка так, чтобы среди них не было двух одноцветных.
2. Берём первый носок. Он может быть, например, синим.
3. Берём второй носок. Чтобы он отличался по цвету от первого, он должен быть зелёным. Теперь у нас на руках один синий и один зелёный носок.
4. Берём третий носок. Поскольку в ящике есть только синие и зелёные носки, третий носок будет либо синим, либо зелёным.
   • Если он синий, у нас получится пара синих носков.
   • Если он зелёный, у нас получится пара зелёных носков.

Таким образом, в любом случае третий вынутый носок образует пару с одним из уже имеющихся. Это доказывает, что невозможно вынуть три носка так, чтобы все они были разных цветов. Следовательно, хотя бы два из них обязательно будут одного цвета. Количество носков каждого цвета ($20$) является избыточной информацией и не влияет на логику решения.

Ответ: Утверждение доказано. При извлечении трёх носков из ящика, в котором находятся носки двух цветов, по принципу Дирихле по крайней мере два носка гарантированно будут одного цвета.