Номер 2, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Верно ли, что если исходное утверждение истинно, то противоположное ему ложно?

Да, это утверждение абсолютно верно в рамках классической логики, на которой основана большая часть математики и повседневных рассуждений.

Разберем это подробно:

В логике "противоположное" утверждение чаще всего понимается как его отрицание. Отрицание — это логическая операция, которая меняет истинностное значение утверждения на противоположное.

Пусть у нас есть исходное утверждение, которое мы обозначим буквой $A$. Его отрицание (противоположное утверждение) обозначается как $\neg A$ (читается как "не $A$").

По определению операции отрицания и согласно законам классической логики:

• Если утверждение $A$ истинно, то его отрицание $\neg A$ обязательно ложно.
• Если утверждение $A$ ложно, то его отрицание $\neg A$ обязательно истинно.

Это следует из двух фундаментальных принципов:

1. Закон непротиворечия: Утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. То есть, $A$ и $\neg A$ не могут быть истинны в одно и то же время. Формально это записывается как $\neg(A \land \neg A)$.
2. Закон исключённого третьего: Любое утверждение либо истинно, либо ложно — третьего варианта нет. Формально: $A \lor \neg A$.

Таким образом, если мы принимаем, что исходное утверждение $A$ истинно, то по закону непротиворечия его отрицание $\neg A$ не может быть истинным, а значит, оно должно быть ложным (согласно закону исключённого третьего).

Пример 1:

• Исходное утверждение (истинно): "Земля вращается вокруг Солнца".
• Противоположное утверждение (отрицание): "Земля не вращается вокруг Солнца". Это утверждение очевидно ложно.

Пример 2 (математический):

• Исходное утверждение (истинно): "$5 > 3$".
• Противоположное утверждение (отрицание): "$5 \le 3$" (что является отрицанием строгого неравенства). Это утверждение ложно.

Следовательно, утверждение о том, что из истинности исходного высказывания следует ложность противоположного, является одним из ключевых столпов логики.

Ответ: Да, верно. Если исходное утверждение истинно, то противоположное ему (его отрицание) по определению ложно.