Номер 174, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

174 Пусть $N$ — натуральное число. Даны утверждения:

A: «$N$ делится на 3»,

B: «$N$ делится на 9»,

C: «Сумма цифр числа $N$ делится на 3»,

D: «Сумма цифр числа $N$ делится на 9»,

E: «Число $N$ является натуральной степенью числа 2».

Составьте из этих утверждений два взаимно обратных условных утверждения:

а) так, чтобы оба были истинными высказываниями;

б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным;

в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.

Два условных утверждения называются взаимно обратными, если условие первого является заключением второго, а заключение первого — условием второго. То есть, для утверждений $P$ и $Q$, утверждения «Если $P$, то $Q$» (записывается как $P \Rightarrow Q$) и «Если $Q$, то $P$» (записывается как $Q \Rightarrow P$) являются взаимно обратными.

Проанализируем данные утверждения A, B, C, D, E. Согласно признакам делимости, утверждение A («N делится на 3») истинно тогда и только тогда, когда истинно утверждение C («Сумма цифр числа N делится на 3»). Это означает, что A и C эквивалентны ($A \Leftrightarrow C$). Аналогично, утверждение B («N делится на 9») эквивалентно утверждению D («Сумма цифр числа N делится на 9»), то есть $B \Leftrightarrow D$. Также, если число делится на 9, то оно обязательно делится и на 3, то есть из B следует A ($B \Rightarrow A$).

а) так, чтобы оба были истинными высказываниями;

Чтобы оба взаимно обратных утверждения $P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$ были истинными, необходимо, чтобы утверждения $P$ и $Q$ были эквивалентны ($P \Leftrightarrow Q$). Как было показано, пара утверждений A и C является эквивалентной на основании признака делимости на 3.

Составим из них взаимно обратные условные утверждения. Первое: «Если N делится на 3, то сумма цифр числа N делится на 3» ($A \Rightarrow C$). Это утверждение истинно, так как является формулировкой признака делимости на 3. Второе (обратное): «Если сумма цифр числа N делится на 3, то N делится на 3» ($C \Rightarrow A$). Это утверждение также истинно по той же причине. Таким образом, оба утверждения истинны.

Ответ: «Если N делится на 3, то сумма цифр числа N делится на 3» и «Если сумма цифр числа N делится на 3, то N делится на 3».

б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным;

Для этого нужно найти такую пару утверждений $P$ и $Q$, что одно из них является следствием другого, но не наоборот. Рассмотрим утверждения A («N делится на 3») и B («N делится на 9»).

Составим из них взаимно обратные утверждения. Первое: «Если N делится на 9, то N делится на 3» ($B \Rightarrow A$). Это утверждение истинно. Если число делится на 9, его можно представить в виде $N = 9k$ для некоторого целого $k$. Тогда $N = 3 \cdot (3k)$, что означает, что $N$ гарантированно делится на 3. Второе (обратное): «Если N делится на 3, то N делится на 9» ($A \Rightarrow B$). Это утверждение не всегда истинно, то есть может быть ложным. Например, если взять $N = 6$, то условие «N делится на 3» истинно, а заключение «N делится на 9» ложно. Следовательно, для $N = 6$ всё условное утверждение является ложным.

Ответ: «Если N делится на 9, то N делится на 3» и «Если N делится на 3, то N делится на 9».

в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.

Условное утверждение $P \Rightarrow Q$ является ложным только в одном случае: когда условие $P$ истинно, а заключение $Q$ ложно. Чтобы оба утверждения, $P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$, были ложными, нам нужно найти такие $P$ и $Q$, для которых можно подобрать контрпримеры в обе стороны.

Рассмотрим утверждения A («N делится на 3») и E («Число N является натуральной степенью числа 2»).

Составим из них взаимно обратные утверждения. Первое: «Если N делится на 3, то N является натуральной степенью числа 2» ($A \Rightarrow E$). Это утверждение ложно. В качестве контрпримера можно взять $N = 3$. Для этого числа условие «N делится на 3» истинно, а заключение «N является натуральной степенью числа 2» ложно. Второе (обратное): «Если N является натуральной степенью числа 2, то N делится на 3» ($E \Rightarrow A$). Это утверждение также ложно. В качестве контрпримера можно взять $N = 4$. Условие «N является натуральной степенью числа 2» истинно, а заключение «N делится на 3» ложно. Фактически, ни одна натуральная степень двойки не делится на 3.

Ответ: «Если N делится на 3, то N является натуральной степенью числа 2» и «Если N является натуральной степенью числа 2, то N делится на 3».