Номер 179, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

179 Пётр Антипович разорвал газетный лист на три части. Потом взял один из кусков и разорвал его на три части. Опять взял один из кусков и разорвал на три части. Пётр Антипович может рвать газету таким образом сколь угодно много раз. Докажите, что Пётр Антипович не сможет получить в результате 100 кусков.

Чтобы доказать, что Пётр Антипович не сможет получить 100 кусков, проследим за изменением их количества на каждом шаге.

Изначально имеется 1 кусок (целый газетный лист).

Когда Пётр Антипович совершает первое действие, он разрывает этот лист на 3 части.

Далее, для каждого следующего действия, он берёт один из имеющихся кусков и разрывает его на три. Это означает, что один старый кусок исчезает, а вместо него появляются три новых. Таким образом, при каждом разрыве общее количество кусков увеличивается на 2.

Математически это можно записать так: если было $N$ кусков, то после разрыва одного из них их станет $(N-1) + 3 = N+2$.

Рассмотрим последовательность количества кусков:

• Изначально: 1 кусок
• После 1-го разрыва: $1+2=3$ куска
• После 2-го разрыва: $3+2=5$ кусков
• После 3-го разрыва: $5+2=7$ кусков
• и так далее.

Можно заметить, что количество кусков всегда является нечётным числом. Это происходит потому, что мы начинаем с нечётного числа (1) и на каждом шаге прибавляем чётное число (2). Сумма нечётного и чётного чисел всегда нечётна.

Число 100, которое мы хотим получить, является чётным. Поскольку в результате описанных действий можно получить только нечётное количество кусков, достичь 100 кусков невозможно.

Это также можно доказать алгебраически. Пусть $n$ — количество совершённых разрывов. Тогда общее количество кусков $K$ будет равно $K = 1 + 2n$. Проверим, может ли $K$ быть равным 100:

$1 + 2n = 100$
$2n = 100 - 1$
$2n = 99$
$n = 99 / 2 = 49.5$

Поскольку количество разрывов $n$ должно быть целым неотрицательным числом, а мы получили дробное значение, это подтверждает, что получить 100 кусков невозможно.

Ответ: Пётр Антипович не сможет получить 100 кусков, так как начальное количество кусков (1) является нечётным числом, и каждая последующая операция увеличивает общее количество кусков на 2, в результате чего количество кусков всегда остаётся нечётным. Число 100 — чётное.