Номер 169, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

169 В жилых домах, в которых больше 5 этажей, должен быть установлен лифт. Считая, что это условие соблюдается, укажите, какие из утверждений являются истинными высказываниями:

а) «Если в доме нет лифта, то в этом доме больше 5 этажей»;

б) «Если в доме больше 6 этажей, то в нём есть лифт»;

в) «Если в доме лифта нет, то в этом доме меньше 5 этажей»;

г) «Если в доме нет лифта, то он не выше 6 этажей»;

д) «Если в доме 4 этажа, то в нём лифта нет»;

е) «Если в доме не больше 5 этажей, то в нём нет лифта»;

ж) «Если в доме есть лифт, то в этом доме есть пятый этаж».

Для решения задачи проанализируем исходное условие с точки зрения математической логики. Пусть $E$ — это количество этажей в доме, а $L$ — это истинность утверждения «в доме есть лифт». Исходное условие «В жилых домах, в которых больше 5 этажей, должен быть установлен лифт» можно записать в виде импликации (логического следования):

$E > 5 \implies L$

Это означает, что если условие $E > 5$ истинно, то и заключение $L$ должно быть истинно. Важно помнить, что из истинности импликации $A \implies B$ следует истинность её контрапозиции $\neg B \implies \neg A$. В нашем случае это означает:

$\neg L \implies \neg(E > 5)$, что эквивалентно $\neg L \implies E \le 5$.

То есть, если в доме нет лифта, то в нём 5 или меньше этажей. Теперь разберём каждое утверждение.

Это утверждение можно записать в виде формулы: $\neg L \implies E > 5$. Это прямо противоречит полученному нами ранее контрапозитивному утверждению $\neg L \implies E \le 5$. Если в доме нет лифта, то количество этажей в нем не может быть больше 5. Следовательно, это высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.

Формула этого утверждения: $E > 6 \implies L$. Если в доме больше 6 этажей ($E > 6$), то это автоматически означает, что в нём больше 5 этажей ($E > 5$). А согласно исходному условию ($E > 5 \implies L$), в таком доме должен быть лифт. Таким образом, это высказывание является истинным. Ответ: Истинное высказывание.

Формула утверждения: $\neg L \implies E < 5$. Из контрапозиции мы знаем, что если лифта нет, то этажей 5 или меньше ($\neg L \implies E \le 5$). Это условие выполняется и для дома с ровно 5 этажами. В 5-этажном доме по исходному правилу может не быть лифта. В таком случае предпосылка «в доме лифта нет» будет истинной, а заключение «в этом доме меньше 5 этажей» — ложным (так как $5 \not< 5$). Следовательно, данное высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.

Фраза «не выше 6 этажей» означает, что количество этажей меньше или равно 6 ($E \le 6$). Формула утверждения: $\neg L \implies E \le 6$. Мы знаем, что если в доме нет лифта, то в нём 5 или меньше этажей ($\neg L \implies E \le 5$). Любое число, которое меньше или равно 5, также является и меньше или равным 6. Таким образом, из истинности утверждения $\neg L \implies E \le 5$ следует истинность утверждения $\neg L \implies E \le 6$. Высказывание истинно. Ответ: Истинное высказывание.

Формула утверждения: $E = 4 \implies \neg L$. Исходное правило регулирует только дома с этажностью *больше* 5. Для домов с 4 этажами никаких требований нет. Лифт в 4-этажном доме может быть установлен (например, для удобства жильцов), и это не будет нарушением правила. Поскольку мы не можем гарантировать, что лифта нет, данное утверждение не является всегда истинным. Ответ: Ложное высказывание.

Фраза «не больше 5 этажей» означает $E \le 5$. Формула утверждения: $E \le 5 \implies \neg L$. Это утверждение не является всегда истинным. Как и в предыдущем пункте, правило не запрещает иметь лифт в домах с 5 или менее этажами. Например, в новом 5-этажном доме для комфорта жильцов может быть лифт. В этом случае посылка ($E \le 5$) истинна, а заключение ($\neg L$) ложно. Следовательно, высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.

Фраза «есть пятый этаж» означает, что количество этажей не меньше 5 ($E \ge 5$). Формула утверждения: $L \implies E \ge 5$. Это утверждение неверно, так как лифт может быть и в доме с меньшим числом этажей, например, в 3-этажном или 4-этажном. В таком случае посылка «в доме есть лифт» будет истинной, а заключение «в этом доме есть пятый этаж» — ложным. Следовательно, высказывание ложно. Ответ: Ложное высказывание.