Страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

174 Пусть $N$ — натуральное число. Даны утверждения:

A: «$N$ делится на 3»,

B: «$N$ делится на 9»,

C: «Сумма цифр числа $N$ делится на 3»,

D: «Сумма цифр числа $N$ делится на 9»,

E: «Число $N$ является натуральной степенью числа 2».

Составьте из этих утверждений два взаимно обратных условных утверждения:

а) так, чтобы оба были истинными высказываниями;

б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным;

в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.

Два условных утверждения называются взаимно обратными, если условие первого является заключением второго, а заключение первого — условием второго. То есть, для утверждений $P$ и $Q$, утверждения «Если $P$, то $Q$» (записывается как $P \Rightarrow Q$) и «Если $Q$, то $P$» (записывается как $Q \Rightarrow P$) являются взаимно обратными.

Проанализируем данные утверждения A, B, C, D, E. Согласно признакам делимости, утверждение A («N делится на 3») истинно тогда и только тогда, когда истинно утверждение C («Сумма цифр числа N делится на 3»). Это означает, что A и C эквивалентны ($A \Leftrightarrow C$). Аналогично, утверждение B («N делится на 9») эквивалентно утверждению D («Сумма цифр числа N делится на 9»), то есть $B \Leftrightarrow D$. Также, если число делится на 9, то оно обязательно делится и на 3, то есть из B следует A ($B \Rightarrow A$).

а) так, чтобы оба были истинными высказываниями;

Чтобы оба взаимно обратных утверждения $P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$ были истинными, необходимо, чтобы утверждения $P$ и $Q$ были эквивалентны ($P \Leftrightarrow Q$). Как было показано, пара утверждений A и C является эквивалентной на основании признака делимости на 3.

Составим из них взаимно обратные условные утверждения. Первое: «Если N делится на 3, то сумма цифр числа N делится на 3» ($A \Rightarrow C$). Это утверждение истинно, так как является формулировкой признака делимости на 3. Второе (обратное): «Если сумма цифр числа N делится на 3, то N делится на 3» ($C \Rightarrow A$). Это утверждение также истинно по той же причине. Таким образом, оба утверждения истинны.

Ответ: «Если N делится на 3, то сумма цифр числа N делится на 3» и «Если сумма цифр числа N делится на 3, то N делится на 3».

б) так, чтобы одно из них было истинным, а обратное могло оказаться ложным;

Для этого нужно найти такую пару утверждений $P$ и $Q$, что одно из них является следствием другого, но не наоборот. Рассмотрим утверждения A («N делится на 3») и B («N делится на 9»).

Составим из них взаимно обратные утверждения. Первое: «Если N делится на 9, то N делится на 3» ($B \Rightarrow A$). Это утверждение истинно. Если число делится на 9, его можно представить в виде $N = 9k$ для некоторого целого $k$. Тогда $N = 3 \cdot (3k)$, что означает, что $N$ гарантированно делится на 3. Второе (обратное): «Если N делится на 3, то N делится на 9» ($A \Rightarrow B$). Это утверждение не всегда истинно, то есть может быть ложным. Например, если взять $N = 6$, то условие «N делится на 3» истинно, а заключение «N делится на 9» ложно. Следовательно, для $N = 6$ всё условное утверждение является ложным.

Ответ: «Если N делится на 9, то N делится на 3» и «Если N делится на 3, то N делится на 9».

в) так, чтобы оба утверждения оказались ложными высказываниями.

Условное утверждение $P \Rightarrow Q$ является ложным только в одном случае: когда условие $P$ истинно, а заключение $Q$ ложно. Чтобы оба утверждения, $P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$, были ложными, нам нужно найти такие $P$ и $Q$, для которых можно подобрать контрпримеры в обе стороны.

Рассмотрим утверждения A («N делится на 3») и E («Число N является натуральной степенью числа 2»).

Составим из них взаимно обратные утверждения. Первое: «Если N делится на 3, то N является натуральной степенью числа 2» ($A \Rightarrow E$). Это утверждение ложно. В качестве контрпримера можно взять $N = 3$. Для этого числа условие «N делится на 3» истинно, а заключение «N является натуральной степенью числа 2» ложно. Второе (обратное): «Если N является натуральной степенью числа 2, то N делится на 3» ($E \Rightarrow A$). Это утверждение также ложно. В качестве контрпримера можно взять $N = 4$. Условие «N является натуральной степенью числа 2» истинно, а заключение «N делится на 3» ложно. Фактически, ни одна натуральная степень двойки не делится на 3.

Ответ: «Если N делится на 3, то N является натуральной степенью числа 2» и «Если N является натуральной степенью числа 2, то N делится на 3».

175 Предположим, что $N$ — некоторое натуральное число. Найдите равносильные утверждения.

A: «Число $N$ чётное».

B: «Число $N$ равно $2k$ для некоторого натурального числа $k$».

C: «Число $N$ даёт остаток 2 при делении на 4».

D: «Число $N$ заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8».

E: «Число $N$ делится на 2, но не делится на 4».

Для того чтобы найти равносильные (эквивалентные) утверждения, необходимо определить, какие из них описывают одно и то же множество натуральных чисел $N$. Проанализируем каждое утверждение.

A: «Число N чётное».
По определению, чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Для натуральных чисел $N$ это означает, что $N$ принадлежит множеству $\{2, 4, 6, 8, 10, \ldots\}$.

B: «Число N равно 2k для некоторого натурального числа k».
Это утверждение является математической формулировкой определения чётного натурального числа. Если $k$ — натуральное число ($k \ge 1$), то $N$ принимает значения $2, 4, 6, \ldots$. Множество чисел, удовлетворяющих этому условию, совпадает с множеством чётных натуральных чисел. Следовательно, утверждение B равносильно утверждению A.

C: «Число N даёт остаток 2 при делении на 4».
Это означает, что $N$ можно представить в виде $N = 4m + 2$, где $m$ — целое неотрицательное число ($m \ge 0$). Примеры таких чисел: $2$ (при $m=0$), $6$ (при $m=1$), $10$ (при $m=2$). Все эти числа чётные, но они не составляют всё множество чётных чисел (например, число 4 не входит в эту последовательность). Значит, утверждение C не равносильно утверждениям A и B.

D: «Число N заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8».
Это является признаком делимости на 2. Любое натуральное число чётно тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётна (0, 2, 4, 6 или 8). Таким образом, это утверждение описывает то же самое множество чисел, что и утверждение A. Следовательно, утверждение D равносильно утверждениям A и B.

E: «Число N делится на 2, но не делится на 4».
Это означает, что $N$ — чётное число, не кратное 4. Любое чётное число можно представить в виде $N=2k$. Если $N$ не делится на 4, то $k$ должно быть нечётным. Пусть $k = 2m+1$ для некоторого целого $m \ge 0$. Тогда $N = 2(2m+1) = 4m+2$. Это в точности совпадает с множеством чисел из утверждения C. Следовательно, утверждение E равносильно утверждению C.

По итогам анализа можно выделить две группы равносильных утверждений:
1. Утверждения A, B и D, которые все описывают множество всех чётных натуральных чисел.
2. Утверждения C и E, которые описывают множество чётных натуральных чисел, не делящихся на 4.

Ответ: Равносильными являются две группы утверждений: 1) A, B и D; 2) C и E.