Страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Что такое частота случайного события? Как частоты и вероятности событий связаны друг с другом?

Что такое частота случайного события?

Частота (или относительная частота) случайного события — это величина, которая показывает, какая доля от общего числа проведенных испытаний закончилась наступлением этого события. Это эмпирическая, то есть полученная опытным путем, характеристика, которая вычисляется по результатам эксперимента.

Для вычисления частоты случайного события A необходимо разделить число испытаний, в которых событие A наступило, на общее число проведенных испытаний. Формула для вычисления частоты:

$W(A) = \frac{m}{n}$

где:

• $W(A)$ — частота события A;
• $m$ — число наступлений события A (благоприятных исходов);
• $n$ — общее число проведенных испытаний.

Например, если монету подбросили 100 раз и орёл выпал 52 раза, то частота выпадения орла в этой серии испытаний будет равна:

$W(\text{орёл}) = \frac{52}{100} = 0,52$

Значение частоты всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Если событие ни разу не произошло, его частота равна 0, а если происходило в каждом испытании — его частота равна 1.

Ответ: Частота случайного события — это отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу проведенных испытаний. Это экспериментальная величина, вычисляемая по формуле $W(A) = \frac{m}{n}$.

Как частоты и вероятности событий связаны друг с другом?

Частота и вероятность — это тесно связанные, но различные понятия, описывающие случайные события.

• Вероятность — это теоретическая, числовая мера возможности наступления события. Она рассчитывается до проведения опыта (априори) на основе свойств системы (например, для идеальной монеты вероятность выпадения орла равна $P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} = 0,5$).
• Частота — это экспериментальная характеристика, которая вычисляется по результатам уже проведенных опытов (апостериори). Её значение может меняться от одной серии опытов к другой.

Связь между ними описывается законом больших чисел. Этот закон гласит, что при многократном повторении случайного эксперимента частота события приближается к его истинной вероятности и стабилизируется около неё. Чем больше проведено испытаний, тем, как правило, ближе значение частоты к значению вероятности. Таким образом, частоту можно рассматривать как экспериментальную оценку вероятности. Эта связь выражается приближенным равенством при большом числе испытаний $n$:

$W(A) \approx P(A)$

Например, теоретическая вероятность выпадения орла для симметричной монеты равна $P(\text{орёл}) = 0,5$. Если подбросить монету 10 раз, частота может заметно отличаться от 0,5 (например, если выпадет 3 орла, частота будет 0,3). Но если подбросить монету 10 000 раз, то число выпавших орлов будет очень близко к 5000, а вычисленная частота — очень близка к теоретической вероятности 0,5.

Ответ: Частота события является экспериментальной оценкой его теоретической вероятности. Согласно закону больших чисел, при увеличении числа испытаний частота события стремится к его вероятности.

2 Какие значения может принимать вероятность случайного события?

Вероятность случайного события, обозначаемая как $P(A)$, является числовой мерой возможности наступления этого события. Согласно классическому определению, вероятность события $A$ вычисляется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов ($m$) к общему числу всех равновозможных элементарных исходов ($n$). Формула выглядит следующим образом:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Проанализируем значения, которые могут принимать числитель $m$ и знаменатель $n$ в этой формуле:

1. Число благоприятствующих исходов $m$ является целым неотрицательным числом, то есть $m \geq 0$. Оно не может быть отрицательным, так как это количество исходов.

2. Общее число исходов $n$ является натуральным числом, так как эксперимент должен иметь хотя бы один возможный исход, то есть $n \geq 1$.

3. Число благоприятствующих исходов не может превышать общее число исходов, так как они являются частью всех возможных исходов. Следовательно, $m \leq n$.

Исходя из этих свойств, мы можем определить диапазон значений для вероятности $P(A)$.

Поскольку $m \geq 0$ и $n > 0$, их отношение $\frac{m}{n}$ не может быть отрицательным. Таким образом, $P(A) \geq 0$.

Поскольку $m \leq n$ и $n > 0$, их отношение $\frac{m}{n}$ не может быть больше единицы. Таким образом, $P(A) \leq 1$.

Объединяя эти два условия, получаем, что вероятность любого случайного события $A$ всегда является числом, которое больше или равно 0 и меньше или равно 1:

$0 \leq P(A) \leq 1$

Рассмотрим значения на границах этого диапазона:

Если вероятность события равна 0 ($P(A) = 0$), то такое событие называют невозможным. Оно никогда не произойдет в результате эксперимента. Это соответствует случаю, когда нет ни одного благоприятствующего исхода ($m=0$). Например, вероятность выпадения числа 7 при броске стандартного шестигранного кубика равна $0/6=0$.

Если вероятность события равна 1 ($P(A) = 1$), то такое событие называют достоверным. Оно обязательно произойдет в результате эксперимента. Это соответствует случаю, когда все возможные исходы являются благоприятствующими ($m=n$). Например, вероятность того, что при броске кубика выпадет число от 1 до 6, равна $6/6=1$.

Если же вероятность события строго больше 0 и строго меньше 1 ($0 < P(A) < 1$), то событие является случайным в узком смысле этого слова — оно может как произойти, так и не произойти.

Ответ: Вероятность случайного события может принимать любое значение из отрезка $[0, 1]$, то есть от 0 до 1 включительно.

3 Может ли частота случайного события быть больше единицы?

Нет, частота случайного события не может быть больше единицы. Давайте разберемся почему.

Частотой (или, точнее, относительной частотой) случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к общему числу проведённых испытаний.

Формула для вычисления частоты события A выглядит так:
$ \text{Частота}(A) = \frac{m}{n} $

где:
$m$ – это число испытаний, в которых событие A произошло (число благоприятных исходов).
$n$ – это общее число всех проведённых испытаний.

По своему определению, число $m$ (количество раз, когда событие произошло) является целым неотрицательным числом. Кроме того, событие не может произойти больше раз, чем было проведено испытаний. Следовательно, число $m$ всегда меньше или равно общему числу испытаний $n$.

Таким образом, для этих двух величин всегда справедливо следующее двойное неравенство:
$0 \leq m \leq n$

Чтобы найти частоту, мы делим все части этого неравенства на $n$ (так как $n$ - это общее число испытаний, оно не может быть равно нулю, $n > 0$):
$ \frac{0}{n} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{n}{n} $

Упростив это выражение, получаем:
$ 0 \leq \text{Частота}(A) \leq 1 $

Это означает, что частота случайного события всегда находится в пределах от 0 до 1.

• Частота равна 0, если событие ни разу не произошло в серии испытаний ($m=0$).
• Частота равна 1, если событие происходило в каждом испытании ($m=n$).

Во всех остальных случаях частота будет дробным числом между 0 и 1. Превысить единицу она не может.

Ответ: нет, частота случайного события не может быть больше единицы.

4 Какие события называют достоверными, а какие — невозможными?

Достоверные события
Событие называют достоверным, если оно обязательно произойдёт при выполнении определённого комплекса условий. Это событие, которое не может не случиться в рамках данного опыта или наблюдения, его исход предрешён. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Если обозначить достоверное событие как $A$, то его вероятность $P(A) = 1$.
Примеры достоверных событий:
- при броске стандартного игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7;
- после ночи наступит утро;
- из ящика, в котором лежат только белые шары, будет вынут белый шар.
Ответ: Достоверным называют событие, которое при данных условиях обязательно произойдёт.

Невозможные события
Событие называют невозможным, если оно заведомо не может произойти при выполнении определённого комплекса условий. Это событие, которое никогда не случится в рамках данного опыта или наблюдения. Вероятность невозможного события всегда равна 0. Если обозначить невозможное событие как $B$, то его вероятность $P(B) = 0$.
Примеры невозможных событий:
- при броске стандартного игрального кубика выпадет число 7;
- вода замёрзнет при температуре +30°C (при нормальном давлении);
- из ящика, в котором лежат только белые шары, будет вынут чёрный шар.
Ответ: Невозможным называют событие, которое при данных условиях заведомо не может произойти.

5 Чему равна вероятность достоверного случайного события; невозможного случайного события?

достоверного случайного события

Достоверным называют такое событие, которое в результате проводимого опыта обязательно произойдет. Это означает, что все возможные исходы эксперимента являются благоприятными для этого события.

Вероятность события $A$ по классическому определению вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов $m$ к общему числу всех равновозможных элементарных исходов $n$:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Для достоверного события число благоприятствующих исходов $m$ равно общему числу исходов $n$. Таким образом, его вероятность всегда равна единице:

$P(\text{достоверное событие}) = \frac{n}{n} = 1$

Ответ: 1

невозможного случайного события

Невозможным называют такое событие, которое в результате проводимого опыта заведомо не может произойти. Для такого события не существует ни одного благоприятного исхода.

Используя ту же классическую формулу вероятности, где $m$ — число благоприятствующих исходов, для невозможного события мы имеем $m = 0$.

Следовательно, вероятность невозможного события всегда равна нулю:

$P(\text{невозможное событие}) = \frac{0}{n} = 0$

Ответ: 0

6 Приведите примеры невозможных и достоверных случайных событий в эксперименте, где бросают игральную кость с очками от 1 до 6.

В эксперименте с броском стандартной игральной кости, на гранях которой нанесены числа от 1 до 6, множество всех возможных исходов (результатов) — это {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Примеры невозможных событий

Невозможное событие — это событие, которое не может произойти в рамках данного эксперимента, так как его исход не входит в множество возможных результатов. Вероятность невозможного события равна $0$.

• Выпадение числа 7. На стандартной игральной кости нет грани с числом 7.
• Выпадение числа 0. Наименьшее число очков на кости — 1.
• Выпадение числа, большего 6. Все возможные исходы не превышают 6.
• Выпадение отрицательного числа. Все числа на гранях кости положительные.

Ответ: Примерами невозможных событий являются: выпадение 7 очков; выпадение 0 очков; выпадение числа, большего 6.

Примеры достоверных событий

Достоверное событие — это событие, которое гарантированно произойдет при любом исходе эксперимента, так как оно включает в себя все возможные результаты. Вероятность достоверного события равна $1$.

• Выпадение числа от 1 до 6 включительно. Это событие охватывает все возможные исходы эксперимента.
• Выпадение числа, меньшего 7. Любой возможный результат броска (1, 2, 3, 4, 5 или 6) меньше 7.
• Выпадение натурального числа. Все числа на гранях кости являются натуральными.

Ответ: Примерами достоверных событий являются: выпадение числа от 1 до 6; выпадение числа, меньшего 7; выпадение натурального числа.

7 Приведите примеры маловероятных событий в эксперименте «прогноз погоды на завтра».

Маловероятное событие — это событие, вероятность которого в рамках определённого эксперимента очень мала, но теоретически возможна (не равна нулю). В эксперименте «прогноз погоды на завтра» маловероятность события сильно зависит от конкретного географического положения и времени года. Вот несколько примеров.

Пример 1: Снег в субтропиках летом

Событие: «Завтра в Сочи в августе пойдёт снег».
Август — один из самых жарких месяцев на Черноморском побережье Кавказа. Средняя температура воздуха держится на уровне $+25^\circ\text{C}$, а температура воды в море ещё выше. Для образования снега необходима устойчивая отрицательная температура воздуха не только у поверхности земли, но и в более высоких слоях атмосферы, откуда падают осадки. Такое резкое и сильное похолодание в разгар лета в субтропическом климате является событием с исчезающе малой вероятностью.

Ответ: Выпадение снега в Сочи в августе.

Пример 2: Экстремальный мороз в пустыне

Событие: «Завтра днём в пустыне Сахара температура опустится до $-20^\circ\text{C}$».
Пустыня Сахара известна своими высокими температурами. Хотя ночью температура может значительно понижаться, иногда даже до $0^\circ\text{C}$ в зимние месяцы в некоторых районах, падение температуры днём до $-20^\circ\text{C}$ является практически невозможным. Это потребовало бы аномального вторжения арктического воздуха, что противоречит глобальным атмосферным процессам, формирующим климат этого региона.

Ответ: Дневная температура $-20^\circ\text{C}$ в пустыне Сахара.

Пример 3: Торнадо в Арктике

Событие: «Завтра в районе Северного полюса будет зафиксирован торнадо».
Торнадо (смерчи) образуются в мощных грозовых облаках (суперъячейках), для формирования которых необходим значительный контраст температур, высокая влажность и сдвиг ветра. Такие условия характерны для умеренных и тропических широт. В Арктике, где воздух холодный и относительно сухой, а атмосфера в целом более стабильна, условия для образования мощных конвективных явлений, способных породить торнадо, практически отсутствуют.

Ответ: Возникновение торнадо в районе Северного полюса.

Пример 4: Резкий скачок температуры за сутки

Событие: «Завтра в Якутске температура воздуха изменится с $-40^\circ\text{C}$ до $+5^\circ\text{C}$».
Хотя для континентального климата Сибири характерны большие перепады температур, изменение на $45^\circ\text{C}$ в течение одних суток является крайне редким явлением. Это потребовало бы очень быстрой смены огромных воздушных масс — ухода экстремально холодного антициклона и прихода аномально теплого воздуха с юга. Скорость таких процессов в атмосфере ограничена, поэтому подобный скачок маловероятен.

Ответ: Изменение температуры в Якутске на $45^\circ\text{C}$ за одни сутки.

8 Приведите примеры нежелательных маловероятных событий в жизненных ситуациях. Обсудите с учителем и одноклассниками, какими из них и в каких случаях можно пренебречь.

Примеры нежелательных маловероятных событий

• Падение метеорита на жилой дом. Вероятность этого события исчезающе мала, но его последствия являются катастрофическими — полное разрушение имущества и прямая угроза жизни.
• Серьезная автомобильная авария. Вероятность попасть в аварию во время одной конкретной поездки низка, однако за всю жизнь водителя она накапливается. Последствия могут быть крайне тяжелыми, включая инвалидность и летальный исход.
• Пожар в квартире из-за неисправности электропроводки. Вероятность такого происшествия в любой отдельно взятый день невысока, но потенциальный ущерб огромен — от потери имущества до угрозы жизни для всех жильцов.
• Укус ядовитого насекомого или змеи в городской черте. Вероятность крайне низкая, но последствия (например, анафилактический шок или отравление) могут быть очень серьезными и требовать немедленной медицинской помощи.
• Пролить кофе на важные документы за пять минут до их подачи. Вероятность низкая, если соблюдать осторожность. Последствия неприятные, но, как правило, не катастрофические (документы можно перепечатать или восстановить).

Обсуждение, какими из них и в каких случаях можно пренебречь

Возможность пренебречь тем или иным маловероятным событием определяется балансом между вероятностью его наступления и тяжестью (масштабом) его последствий. Основной принцип управления рисками гласит:

Пренебрегать можно теми рисками, где и вероятность, и тяжесть последствий низки. Если же последствия события, пусть и маловероятного, очень серьезны, пренебрегать им нельзя.

События, которыми пренебрегать НЕЛЬЗЯ (низкая вероятность, высокие последствия)

К этой категории относятся автомобильная авария и пожар в квартире. Несмотря на то, что эти события случаются редко, их последствия могут быть катастрофическими для жизни, здоровья и благосостояния. Поэтому мы не пренебрегаем ими, а принимаем активные меры для снижения рисков:

• В случае аварии: соблюдаем ПДД, используем ремни и подушки безопасности, оформляем страховку (ОСАГО, КАСКО).
• В случае пожара: устанавливаем датчики дыма, держим в доступе огнетушитель, страхуем имущество, следим за состоянием электроприборов и проводки.

События, которыми можно пренебречь (низкая вероятность, низкие последствия)

Сюда относится пример с пролитым на документы кофе. Последствия этого события неприятны, но легко устранимы. Затраты на постоянное предотвращение такого риска (например, никогда не пить рядом с бумагами или носить все в герметичных папках) несоизмеримы с потенциальным ущербом. Поэтому в обычной жизни таким риском можно пренебречь, ограничиваясь разумной осторожностью.

Особые случаи для обсуждения

1. Укус ядовитого существа в городе. В обычной городской среде этим риском можно пренебречь. Мы не носим специальную защитную одежду каждый день. Однако ситуация меняется, если мы отправляемся в лес, в поход или в тропическую страну. В этом контексте вероятность возрастает, и пренебрегать риском уже нельзя: нужно делать прививки, использовать репелленты, носить закрытую одежду. Таким образом, возможность пренебречь риском зависит от конкретной ситуации.

2. Падение метеорита. Это событие с экстремальными показателями: практически нулевая вероятность и максимальная тяжесть последствий. На индивидуальном уровне мы вынуждены "пренебрегать" этим риском в повседневной деятельности, так как эффективные меры защиты (постройка бункера) нерациональны. Мы не можем позволить этому риску парализовать нашу жизнь. Однако на глобальном уровне человечество не пренебрегает этой угрозой: космические агентства ведут мониторинг опасных объектов. Финансовые последствия для отдельного человека могут быть покрыты стандартной страховкой жилья.

Ответ: Пренебрегать можно маловероятными нежелательными событиями, последствия которых незначительны или легко устранимы (например, испачкать одежду или пролить напиток на некритичные бумаги). Нельзя пренебрегать маловероятными событиями, если их последствия очень серьезны или катастрофичны (например, пожар, серьезная авария), — в таких случаях необходимо принимать соразмерные меры для снижения рисков (профилактика, страхование, использование средств защиты). Решение о том, стоит ли пренебрегать риском, также сильно зависит от конкретной ситуации и контекста.

183 Бросают игральный кубик, на гранях которого числа от 1 до 6. Укажите, какие из перечисленных событий являются достоверными, а какие — невозможными:

а) «выпадет 7 очков»;

б) «выпадет больше 2, но меньше 5 очков»;

в) «выпадет от 1 до 6 очков»;

г) «выпадет больше 3, но меньше 4 очков».

Для решения этой задачи необходимо определить, какие из предложенных событий являются достоверными (происходят всегда), а какие — невозможными (не могут произойти никогда). Достоверное событие — это событие, которое в результате опыта непременно произойдет. Невозможное событие — это событие, которое в данном опыте произойти не может.

Опыт заключается в бросании игрального кубика, на гранях которого нанесены числа от 1 до 6. Множество всех возможных исходов этого опыта: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

а) «выпадет 7 очков»;
На гранях игрального кубика максимальное число очков равно 6. Таким образом, выпадение 7 очков является событием, которое не может произойти. Множество исходов, благоприятствующих этому событию, является пустым. Следовательно, это событие является невозможным.
Ответ: невозможное событие.

б) «выпадет больше 2, но меньше 5 очков»;
Это событие произойдет, если число выпавших очков будет строго больше 2 и строго меньше 5. Этому условию удовлетворяют числа 3 и 4. Так как на кубике есть грани с такими числами, это событие может произойти. Однако оно не является гарантированным, потому что могут выпасть и другие числа (1, 2, 5, 6). Событие, которое может как произойти, так и не произойти, называется случайным. Оно не является ни достоверным, ни невозможным.
Ответ: случайное событие (не является ни достоверным, ни невозможным).

в) «выпадет от 1 до 6 очков»;
Это событие описывает выпадение любого числа из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Поскольку на кубике есть только грани с этими числами, при любом броске результат обязательно будет принадлежать этому множеству. Все возможные исходы являются благоприятными для данного события. Таким образом, это событие гарантированно произойдет при каждом броске кубика. Это достоверное событие.
Ответ: достоверное событие.

г) «выпадет больше 3, но меньше 4 очков».
Это событие произойдет, если число выпавших очков, обозначим его $x$, будет удовлетворять строгому неравенству $3 < x < 4$. На гранях кубика нанесены только целые числа. Среди целых чисел нет ни одного, которое было бы больше 3 и одновременно меньше 4. Таким образом, нет ни одного исхода, который бы соответствовал этому событию. Это невозможное событие.
Ответ: невозможное событие.