Страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

268 По полу рассыпали содержимое коробки, в которой было 100 канцелярских кнопок. Каково математическое ожидание числа «опасных» кнопок, лежащих остриём вверх, если вероятность падения кнопки остриём вверх равна 0,45?

Для решения этой задачи мы можем использовать понятие математического ожидания для биномиального распределения.

Пусть случайная величина $X$ — это число кнопок, упавших остриём вверх. Падение каждой из 100 кнопок является независимым событием (испытанием). У каждого такого испытания есть два исхода:
1. Кнопка падает остриём вверх (назовем это «успех»). Вероятность этого исхода по условию равна $p = 0,45$.
2. Кнопка падает остриём вниз (назовем это «неудача»). Вероятность этого исхода равна $q = 1 - p = 1 - 0,45 = 0,55$.

Такая последовательность из $n=100$ независимых испытаний с двумя исходами описывается биномиальным распределением. Нам необходимо найти математическое ожидание числа «успехов» (опасных кнопок).

Математическое ожидание $M(X)$ для случайной величины, имеющей биномиальное распределение, вычисляется по формуле:$M(X) = n \cdot p$где $n$ — общее число испытаний, а $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании.

Подставим в формулу значения из условия задачи:
$n = 100$ (общее количество кнопок)
$p = 0,45$ (вероятность того, что одна кнопка упадет остриём вверх)

Выполним расчет:$M(X) = 100 \cdot 0,45 = 45$

Таким образом, среднее ожидаемое число кнопок, которые будут лежать на полу остриём вверх, равно 45.

Ответ: 45

269 Игральную кость бросили 120 раз. Найдите математическое ожидание случайной величины:

а) «выпавшее число очков делится на 3»;

б) «выпала пятёрка».

а) «выпавшее число очков делится на 3»

Математическое ожидание числа успехов в серии из $n$ независимых испытаний (схема Бернулли) находится по формуле $E(X) = n \cdot p$, где $n$ — общее число испытаний, а $p$ — вероятность успеха в одном испытании.

В данном случае, общее число испытаний (бросков кости) $n = 120$.

Событие "успех" — это выпадение числа очков, которое делится на 3. На стандартной игральной кости (с гранями от 1 до 6) таких чисел два: 3 и 6.

Всего возможных исходов при одном броске — 6 (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Все исходы равновероятны.

Таким образом, вероятность успеха $p$ в одном броске равна: $p = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Теперь можем вычислить математическое ожидание: $E(X) = n \cdot p = 120 \cdot \frac{1}{3} = 40$.

Ответ: 40

б) «выпала пятёрка»

Аналогично пункту а), используем формулу математического ожидания $E(X) = n \cdot p$.

Число испытаний $n = 120$.

Событие "успех" в этом случае — выпадение пятёрки. На игральной кости только одна грань с числом 5.

Следовательно, число благоприятных исходов равно 1.

Вероятность успеха $p$ в одном броске равна: $p = \frac{1}{6}$.

Вычисляем математическое ожидание: $E(X) = n \cdot p = 120 \cdot \frac{1}{6} = 20$.

Ответ: 20

1 Чему равно ожидаемое число успехов $S$ при вероятности успеха 0,5 в серии из 20 испытаний? Подбросьте 20 раз монету, считая успехом выпадение орла. Подсчитайте число наступивших успехов. Совпало ли число успехов с ожидаемым значением? Сильно ли оно отличается от ожидаемого значения?

Чему равно ожидаемое число успехов S при вероятности успеха 0,5 в серии из 20 испытаний?

Ожидаемое число успехов (математическое ожидание) для серии независимых испытаний вычисляется по формуле $E[S] = n \cdot p$, где $n$ — это количество испытаний, а $p$ — вероятность успеха в каждом испытании.
В условиях данной задачи:
- Количество испытаний $n = 20$.
- Вероятность успеха (выпадение орла) $p = 0,5$.
Подставляем эти значения в формулу:
$E[S] = 20 \cdot 0,5 = 10$.
Ответ: Ожидаемое число успехов $S$ равно 10.

Подбросьте 20 раз монету, считая успехом выпадение орла. Подсчитайте число наступивших успехов.

Этот пункт предполагает проведение физического эксперимента. Поскольку я являюсь цифровой моделью, я проведу симуляцию такого эксперимента. Ваш результат при реальном подбрасывании монеты может отличаться.
Результат симуляции 20 подбрасываний (О — орёл, Р — решка):
О, Р, Р, О, О, Р, О, Р, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р, Р, О, О, Р.
Подсчитаем число выпадений орла (О) в этой последовательности. В данном примере их получилось 11.
Ответ: В результате симулированного эксперимента число наступивших успехов равно 11.

Совпало ли число успехов с ожидаемым значением?

Сравним фактический результат из нашего симулированного эксперимента (11 успехов) с теоретически ожидаемым значением (10 успехов).
$11 \neq 10$.
Число успехов не совпало с ожидаемым значением. Это является нормальной ситуацией для случайных процессов. Математическое ожидание — это среднее значение, которое мы бы получили, проведя огромное количество таких серий по 20 бросков, в то время как результат одной конкретной серии может от него отклоняться.
Ответ: Нет, не совпало.

Сильно ли оно отличается от ожидаемого значения?

Разница между фактическим и ожидаемым числом успехов составляет $11 - 10 = 1$. Для серии из 20 испытаний такое отклонение является небольшим и статистически вполне вероятным. Оно лежит в пределах типичного случайного разброса результатов. Сильным считалось бы отклонение, например, в 5-6 успехов и более.
Ответ: Нет, отличие несильное.

2 Производится серия испытаний Бернулли. Выберите верное утверждение:

а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;

б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;

в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха.

Для анализа предложенных утверждений воспользуемся основными понятиями и формулами теории вероятностей, относящимися к схеме испытаний Бернулли.

Пусть $n$ — это общее количество проводимых независимых испытаний (экспериментов).
Пусть $p$ — это вероятность "успеха" в каждом отдельном испытании. Значение $p$ может быть от 0 до 1.
Тогда вероятность "неудачи" в каждом испытании равна $q = 1 - p$.

Математическое ожидание (или среднее значение) числа успехов в серии из $n$ испытаний вычисляется по формуле: $E_{успехов} = n \cdot p$.
Математическое ожидание числа неудач в серии из $n$ испытаний вычисляется по формуле: $E_{неудач} = n \cdot q = n \cdot (1 - p)$.

Теперь последовательно проанализируем каждое утверждение.

а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;

Вероятность успеха обозначена как $p$. Математическое ожидание числа неудач равно $E_{неудач} = n \cdot (1 - p)$. Проанализируем, как изменяется $E_{неудач}$ при увеличении $p$. Если вероятность успеха $p$ увеличивается (стремится к 1), то множитель $(1 - p)$ уменьшается (стремится к 0). Следовательно, и всё произведение $n \cdot (1 - p)$ также будет уменьшаться (при условии, что число испытаний $n$ постоянно и положительно). Таким образом, чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач. Данное утверждение является неверным.
Ответ: Утверждение неверно.

б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;

Используем ту же формулу для математического ожидания числа неудач: $E_{неудач} = n \cdot (1 - p)$. Как было установлено при анализе предыдущего пункта, при увеличении вероятности успеха $p$, значение разности $(1 - p)$ уменьшается. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению значения $E_{неудач}$. Следовательно, данное утверждение полностью соответствует математической зависимости и является верным.
Ответ: Утверждение верно.

в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха.

Среднее число успехов — это другое название для математического ожидания числа успехов. Оно вычисляется по формуле $E_{успехов} = n \cdot p$. Из этой формулы ясно видно, что среднее число успехов является произведением двух величин: числа экспериментов $n$ и вероятности успеха $p$. Это означает, что среднее число успехов напрямую зависит от обеих этих величин. Утверждение, что оно зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха, является ложным.
Ответ: Утверждение неверно.

3 Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайных величин «число успехов» и «частота успеха» в серии из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p.

Число успехов

Математическое ожидание: $E(X) = np$

Дисперсия: $D(X) = np(1-p)$

Частота успеха

Математическое ожидание: $E(\frac{X}{n}) = p$

Дисперсия: $D(\frac{X}{n}) = \frac{p(1-p)}{n}$

Рассмотрим серию из $n$ независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых вероятность успеха равна $p$, а вероятность неудачи — $q = 1-p$.

«число успехов»

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу успехов в серии из $n$ испытаний. Эта величина имеет биномиальное распределение $X \sim B(n, p)$.

Математическое ожидание (среднее ожидаемое число успехов) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

$M[X] = np$

Дисперсия (мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

$D[X] = np(1-p) = npq$

Ответ: Математическое ожидание: $M[X] = np$; дисперсия: $D[X] = np(1-p)$.

«частота успеха»

Пусть $W$ — случайная величина, равная частоте успеха. Она определяется как отношение числа успехов $X$ к общему числу испытаний $n$:

$W = \frac{X}{n}$

Математическое ожидание частоты успеха находится с использованием свойств математического ожидания, в частности $M[c \cdot X] = c \cdot M[X]$, где $c$ — константа:

$M[W] = M\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n}M[X] = \frac{1}{n}(np) = p$

Дисперсия частоты успеха находится с использованием свойств дисперсии, в частности $D[c \cdot X] = c^2 \cdot D[X]$, где $c$ — константа:

$D[W] = D\left[\frac{X}{n}\right] = \left(\frac{1}{n}\right)^2 D[X] = \frac{1}{n^2}(np(1-p)) = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{pq}{n}$

Ответ: Математическое ожидание: $M[W] = p$; дисперсия: $D[W] = \frac{p(1-p)}{n}$.

4 Проводятся две серии испытаний Бернулли длины $n$. Вероятность успеха в первой серии равна $0.2$, а во второй вероятность успеха равна $0.8$. Не производя вычислений, сравните:

а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;

б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии.

а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;

Пусть $X_1$ — случайная величина, равная числу успехов в первой серии испытаний, а $X_2$ — во второй. Обе величины распределены по биномиальному закону с параметрами $(n, p)$, где $n$ — число испытаний, а $p$ — вероятность успеха в одном испытании.

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $E[X] = np$.

Для первой серии вероятность успеха $p_1 = 0,2$. Математическое ожидание равно: $E[X_1] = n \cdot p_1 = n \cdot 0,2 = 0,2n$.

Для второй серии вероятность успеха $p_2 = 0,8$. Математическое ожидание равно: $E[X_2] = n \cdot p_2 = n \cdot 0,8 = 0,8n$.

Сравниваем полученные значения. Поскольку $0,2 < 0,8$ и $n$ — положительное число, то $0,2n < 0,8n$. Следовательно, $E[X_1] < E[X_2]$. Интуитивно это означает, что при большей вероятности успеха мы ожидаем в среднем большее количество успехов.

Ответ: Математическое ожидание числа успехов во второй серии больше, чем в первой.

б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии.

Дисперсия для биномиального распределения находится по формуле $Var(X) = np(1-p)$. Дисперсия характеризует меру разброса случайной величины относительно её математического ожидания.

Для первой серии с $p_1 = 0,2$ дисперсия равна: $Var(X_1) = n \cdot p_1 \cdot (1 - p_1) = n \cdot 0,2 \cdot (1 - 0,2) = n \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,16n$.

Для второй серии с $p_2 = 0,8$ дисперсия равна: $Var(X_2) = n \cdot p_2 \cdot (1 - p_2) = n \cdot 0,8 \cdot (1 - 0,8) = n \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,16n$.

Сравнивая полученные выражения для дисперсий, видим, что $Var(X_1) = Var(X_2)$. Равенство дисперсий объясняется тем, что произведение $p(1-p)$ одинаково для $p=0,2$ и $p=0,8$. Это связано с тем, что функция $f(p)=p(1-p)$ симметрична относительно точки $p=0,5$, в которой она достигает своего максимума. Значения $p_1=0,2$ и $p_2=0,8$ равноудалены от этой точки ($0,5 - 0,2 = 0,3$ и $0,8 - 0,5 = 0,3$), поэтому значения функции $f(p)$ для них совпадают.

Ответ: Дисперсии числа успехов в первой и во второй сериях равны.

5 Число испытаний n увеличивается. Как себя ведёт при этом:

а) математическое ожидание числа успехов;

б) математическое ожидание числа неудач;

в) дисперсия числа успехов;

г) математическое ожидание частоты успеха;

д) стандартное отклонение частоты успеха?

В основе решения лежит модель испытаний Бернулли. Пусть $n$ — число независимых испытаний, $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании ($0 < p < 1$), а $q=1-p$ — вероятность «неудачи». Число успехов $X$ в $n$ испытаниях является случайной величиной, имеющей биномиальное распределение.

а) математическое ожидание числа успехов;

Математическое ожидание (среднее значение) числа успехов $X$ для биномиального распределения определяется формулой: $E[X] = np$. Поскольку вероятность успеха $p$ является постоянной величиной, а число испытаний $n$ увеличивается, то произведение $np$ также увеличивается. Рост является линейным по $n$.

Ответ: увеличивается.

б) математическое ожидание числа неудач;

Число неудач в $n$ испытаниях равно $n - X$. Математическое ожидание числа неудач равно: $E[n - X] = E[n] - E[X] = n - np = n(1-p) = nq$. Поскольку вероятность неудачи $q$ является постоянной величиной, а число испытаний $n$ увеличивается, то произведение $nq$ также увеличивается линейно с ростом $n$.

Ответ: увеличивается.

в) дисперсия числа успехов;

Дисперсия, которая характеризует разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, для числа успехов $X$ в биномиальном распределении вычисляется по формуле: $Var(X) = npq$. Так как $p$ и $q$ — константы, а $n$ увеличивается, то дисперсия $npq$ также увеличивается прямо пропорционально $n$.

Ответ: увеличивается.

г) математическое ожидание частоты успеха;

Частота успеха (или выборочная доля) — это отношение числа успехов к общему числу испытаний, то есть случайная величина $\frac{X}{n}$. Найдем ее математическое ожидание, используя свойства математического ожидания: $E\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n} E[X]$. Подставив известное значение $E[X] = np$, получим: $E\left[\frac{X}{n}\right] = \frac{1}{n} (np) = p$. Математическое ожидание частоты успеха равно вероятности успеха $p$, которая является константой. Следовательно, эта величина не изменяется с увеличением числа испытаний $n$.

Ответ: не изменяется.

д) стандартное отклонение частоты успеха?

Стандартное (среднеквадратическое) отклонение является мерой разброса и равно квадратному корню из дисперсии. Сначала найдем дисперсию частоты успеха, используя свойства дисперсии: $Var\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} Var(X)$. Подставив известное значение $Var(X) = npq$, получим: $Var\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n^2} (npq) = \frac{pq}{n}$. Тогда стандартное отклонение частоты успеха равно: $\sigma\left(\frac{X}{n}\right) = \sqrt{Var\left(\frac{X}{n}\right)} = \sqrt{\frac{pq}{n}}$. Поскольку $p$ и $q$ — константы, с увеличением $n$ знаменатель дроби растет, а вся дробь $\frac{pq}{n}$ уменьшается, стремясь к нулю. Соответственно, и ее квадратный корень уменьшается. Это отражает закон больших чисел: с ростом числа испытаний частота успеха становится все более надежной оценкой истинной вероятности $p$.

Ответ: уменьшается.

6 Верно ли, что в серии испытаний Бернулли дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач?

Да, это утверждение верно. Дисперсия числа успехов всегда равна дисперсии числа неудач в серии испытаний Бернулли.

Рассмотрим серию из $n$ независимых испытаний. В каждом испытании "успех" наступает с вероятностью $p$, а "неудача" — с вероятностью $q$, где $q = 1-p$.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная числу успехов в $n$ испытаниях. $X$ имеет биномиальное распределение, и её дисперсия вычисляется по стандартной формуле:
$D[X] = np(1-p) = npq$

Пусть $Y$ — это случайная величина, равная числу неудач в $n$ испытаниях. Поскольку общее число испытаний равно $n$, то сумма числа успехов и числа неудач всегда равна $n$:
$X + Y = n$

Из этого соотношения мы можем выразить число неудач $Y$ через число успехов $X$:
$Y = n - X$

Теперь найдём дисперсию числа неудач $D[Y]$, используя известное свойство дисперсии: $D[aZ + b] = a^2 D[Z]$, где $Z$ — случайная величина, а $a$ и $b$ — константы. В нашем случае $Z=X$, $a=-1$ и $b=n$. Применим это свойство:
$D[Y] = D[n - X] = D[(-1) \cdot X + n]$
$D[Y] = (-1)^2 D[X]$
$D[Y] = 1 \cdot D[X] = D[X]$

Таким образом, мы получили, что дисперсия числа неудач равна дисперсии числа успехов:
$D[Y] = D[X] = npq$

Следовательно, утверждение полностью верно.

Ответ: да, верно.