Номер 2, страница 119 - гдз по физике 7 класс учебник Громов, Родина

Глава 4. Работа, мощность, энергия. Параграф 32. Рычаг. Обсудить в классе - номер 2, страница 119.

Условие.

2. На невесомом рычаге, имеющем разные плечи, уравновешены два стальных шарика, объёмы которых различаются в 2 раза. Сохранится ли равновесие, если шарики опустить в воду?

Решение.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать условие равновесия рычага в двух случаях: когда шарики находятся в воздухе и когда они погружены в воду.

Дано:

Шарики стальные, $\rho_1 = \rho_2 = \rho_{ст}$
Соотношение объемов шариков, $V_2 = 2V_1$
Рычаг невесомый и изначально находится в равновесии.

Найти:

Сохранится ли равновесие рычага при погружении шариков в воду?

Решение:

1. Условие равновесия рычага в воздухе.

На рычаг действуют силы тяжести двух шариков. Условие равновесия рычага (правило моментов) заключается в равенстве моментов сил, вращающих его по часовой стрелке и против часовой стрелки:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ и $M_2$ – моменты сил, создаваемые первым и вторым шариками соответственно. Момент силы равен произведению силы на плечо:

$F_1 l_1 = F_2 l_2$

Силы $F_1$ и $F_2$ – это веса шариков: $F_1 = m_1 g$ и $F_2 = m_2 g$. Масса шарика равна произведению его плотности на объем: $m = \rho V$.

Выразим массы шариков через их объемы и плотность стали $\rho_{ст}$:

$m_1 = \rho_{ст} V_1$

$m_2 = \rho_{ст} V_2 = \rho_{ст} (2V_1) = 2(\rho_{ст} V_1) = 2m_1$

Как мы видим, масса второго шарика в два раза больше массы первого. Подставим это в условие равновесия:

$m_1 g l_1 = (2m_1) g l_2$

Сократив одинаковые множители ($m_1 g$) в обеих частях уравнения, получим соотношение между плечами рычага:

$l_1 = 2l_2$

Это означает, что для первоначального равновесия шарик меньшего объема (и массы) должен быть подвешен на плече, которое в два раза длиннее плеча большего шарика.

2. Условие равновесия рычага в воде.

При погружении шариков в воду на них начинает действовать выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вертикально вверх. Сила, с которой каждый шарик действует на рычаг, уменьшится на величину этой выталкивающей силы.

Новые силы, действующие на рычаг, будут равны:

$F'_1 = F_1 - F_{A1} = m_1 g - \rho_{в} g V_1$

$F'_2 = F_2 - F_{A2} = m_2 g - \rho_{в} g V_2$

где $\rho_{в}$ – плотность воды, а $F_{A1}$ и $F_{A2}$ – силы Архимеда, действующие на первый и второй шарики.

Выразим силу Архимеда для второго шарика через силу Архимеда для первого:

$F_{A2} = \rho_{в} g V_2 = \rho_{в} g (2V_1) = 2(\rho_{в} g V_1) = 2F_{A1}$

Проверим, сохранится ли равенство моментов в воде. Для этого необходимо сравнить новые моменты $M'_1 = F'_1 l_1$ и $M'_2 = F'_2 l_2$.

Подставим известные соотношения $l_1 = 2l_2$, $m_2 = 2m_1$ и $F_{A2} = 2F_{A1}$ в уравнение моментов $F'_1 l_1 = F'_2 l_2$:

$(m_1 g - F_{A1}) \cdot (2l_2) = (m_2 g - F_{A2}) \cdot l_2$

$(m_1 g - F_{A1}) \cdot (2l_2) = (2m_1 g - 2F_{A1}) \cdot l_2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в правой части уравнения:

$(m_1 g - F_{A1}) \cdot (2l_2) = 2(m_1 g - F_{A1}) \cdot l_2$

Мы получили тождественное равенство. Это означает, что моменты сил остались равными и после погружения шариков в воду.

Таким образом, равновесие рычага сохранится.

Ответ: Да, равновесие сохранится. Из начального условия равновесия следует, что плечо меньшего шарика в два раза больше плеча большего шарика ($l_1 = 2l_2$). При погружении в воду на шарики действуют выталкивающие силы, пропорциональные их объемам, следовательно $F_{A2} = 2F_{A1}$. Моменты выталкивающих сил оказываются равными: $M_{A1} = F_{A1} l_1 = F_{A1} (2l_2)$ и $M_{A2} = F_{A2} l_2 = (2F_{A1}) l_2$. Поскольку изначальные моменты сил тяжести были равны и уменьшающие их моменты выталкивающих сил также равны, итоговые моменты останутся равными, и равновесие не нарушится.