Номер 4, страница 182 - гдз по физике 7 класс учебник Кронгарт, Даданбеков

4. Когда центр масс тела совпадает с центром тяжести?

Центр масс тела совпадает с его центром тяжести в том и только в том случае, если тело находится в однородном гравитационном поле. Однородным называется такое поле, в котором вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ одинаков по величине и направлению во всех точках пространства, занимаемого телом.

Чтобы понять, почему это так, необходимо различать эти два понятия.

Центр масс (или центр инерции) — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение массы в теле или системе частиц. Его положение зависит исключительно от формы тела и распределения плотности вещества в нем. Радиус-вектор центра масс $\vec{r}_{цм}$ для непрерывного тела вычисляется по формуле:

$\vec{r}_{цм} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$

где $M$ — полная масса тела, $dm$ — элемент массы, а $\vec{r}$ — радиус-вектор этого элемента. Центр масс является внутренней характеристикой самого тела.

Центр тяжести — это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела. В отличие от центра масс, положение центра тяжести зависит не только от распределения массы, но и от внешнего гравитационного поля. Его радиус-вектор $\vec{r}_{цт}$ определяется из условия, что суммарный момент сил тяжести относительно этой точки равен нулю. Формула для его нахождения выглядит так:

$\vec{r}_{цт} = \frac{1}{W} \int \vec{r} dW$

где $W$ - полный вес тела, а $dW = g(\vec{r}) dm$ - вес элементарного объема, причем $g(\vec{r})$ - значение ускорения свободного падения в точке с радиус-вектором $\vec{r}$.

Если гравитационное поле однородно, то $\vec{g}(\vec{r}) = \vec{g} = const$ для всех элементов тела. Тогда $dW = g \cdot dm$ и $W = M \cdot g$. Подставив это в формулу для центра тяжести, получаем:

$\vec{r}_{цт} = \frac{1}{M g} \int \vec{r} (g dm) = \frac{g}{M g} \int \vec{r} dm = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$

Как видно, полученное выражение в точности совпадает с формулой для центра масс: $\vec{r}_{цт} = \vec{r}_{цм}$.

Если же поле неоднородно (например, для очень протяженных объектов, сравнимых по размеру с планетой, или вблизи массивных тел), то значение $\vec{g}$ будет разным для разных частей тела. В этом случае центр тяжести будет смещен относительно центра масс в сторону более сильного гравитационного поля. Например, у высокого небоскреба центр тяжести будет находиться чуть ниже центра масс, так как у поверхности Земли гравитация немного сильнее, чем на высоте в несколько сотен метров. Однако для большинства объектов в повседневной жизни это различие пренебрежимо мало.

Ответ: Центр масс тела совпадает с центром тяжести, когда тело находится в однородном гравитационном поле, то есть в поле, где вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ постоянен во всех точках, занимаемых телом.