Номер 3, страница 182 - гдз по физике 7 класс учебник Кронгарт, Даданбеков

3. Как определяется центр масс тела?

3. Решение

Центр масс (или центр инерции) тела — это геометрическая точка, характеризующая распределение массы в теле или системе частиц. Положение центра масс можно рассматривать как средневзвешенное положение всех частиц, составляющих тело, где "весом" каждой частицы является ее масса. Способ определения центра масс зависит от того, является ли тело системой дискретных точек или сплошным телом, а также от его формы и распределения плотности. Существуют аналитические (расчетные) и экспериментальные методы определения.

1. Аналитические (расчетные) методы

а) Для системы материальных точек:

Если система состоит из $N$ материальных точек с массами $m_1, m_2, ..., m_N$ и их радиус-векторами $\vec{r_1}, \vec{r_2}, ..., \vec{r_N}$ в некоторой системе отсчета, то радиус-вектор центра масс $\vec{r_c}$ определяется как векторная сумма радиус-векторов всех точек, умноженных на их массы, деленная на суммарную массу системы:

$\vec{r_c} = \frac{m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ... + m_N\vec{r_N}}{m_1 + m_2 + ... + m_N} = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{r_i}}{\sum_{i=1}^{N} m_i}$

В координатной форме для трехмерного пространства (с осями X, Y, Z) координаты центра масс $(x_c, y_c, z_c)$ вычисляются так:

$x_c = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i}$, $y_c = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i}$, $z_c = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i z_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i}$

б) Для сплошного (непрерывного) тела:

Для тела с непрерывным распределением массы суммирование заменяется интегрированием по всему объему (или площади, или длине) тела. Радиус-вектор центра масс определяется как:

$\vec{r_c} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$

где $M = \int dm$ — полная масса тела, $dm$ — бесконечно малый элемент массы, а $\vec{r}$ — его радиус-вектор. Если известна плотность тела $\rho(\vec{r})$, то элемент массы $dm = \rho(\vec{r}) dV$, где $dV$ — элемент объема. Тогда формула принимает вид:

$\vec{r_c} = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \rho(\vec{r}) dV$

Интегрирование проводится по всему объему $V$ тела.

в) Метод симметрии:

Для однородных тел (с постоянной плотностью $\rho = \text{const}$), обладающих геометрической симметрией, центр масс совпадает с их центром симметрии.

- У шара или сферы — в геометрическом центре.

- У прямоугольника, квадрата, параллелепипеда — в точке пересечения диагоналей.

- У однородного диска или кольца — в центре окружности.

- У прямого однородного стержня — в его середине.

2. Экспериментальные методы

а) Метод подвешивания:

Этот метод особенно удобен для плоских тел (пластин) произвольной формы. Тело подвешивают за какую-либо точку и дожидаются, пока оно не придет в состояние равновесия под действием силы тяжести. В этом положении центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса (линии отвеса). Проводят эту вертикальную линию на теле. Затем тело подвешивают за другую точку и снова проводят вертикальную линию. Точка пересечения этих двух (или более, для точности) линий и есть искомый центр масс.

б) Метод уравновешивания:

Центр масс также является центром тяжести (в однородном гравитационном поле), то есть точкой, к которой "приложена" равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела. Поэтому тело, опёртое в этой точке, будет находиться в равновесии. Например, центр масс линейки можно найти, положив ее на палец или острие так, чтобы она не падала. Точка опоры и будет центром масс.

Ответ: Центр масс тела определяется либо аналитически (расчетом) с использованием формул для систем материальных точек $(\vec{r_c} = \frac{\sum m_i \vec{r_i}}{\sum m_i})$ или сплошных тел $(\vec{r_c} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm)$, либо экспериментально (методом подвешивания или уравновешивания). Для однородных симметричных тел центр масс совпадает с их геометрическим центром.