Номер 1397, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Световые явления. 50. Линзы. Оптическая сила линзы. Изображения, даваемые линзой. Глаз и зрение. Близорукость и дальнозоркость - номер 1397, страница 154.

Решение.

Дано:

Размер диапозитива (предмет): $h \times h = 8,5 \text{ см} \times 8,5 \text{ см}$

Размер экрана (изображение): $L_1 \times L_2 = 1,5 \text{ м} \times 2 \text{ м}$

Расстояние от проектора до экрана (расстояние до изображения): $f = 6 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Линейный размер диапозитива: $h = 8,5 \text{ см} = 0,085 \text{ м}$

Размеры экрана: $L_1 = 1,5 \text{ м}$, $L_2 = 2 \text{ м}$

Найти:

Фокусное расстояние объектива $F - ?$

Решение:

Проекционный аппарат создает на экране действительное, увеличенное изображение диапозитива. Диапозитив имеет квадратную форму. Чтобы его изображение полностью поместилось на прямоугольном экране и при этом было максимально большим, его размер должен быть вписан в размеры экрана. Это означает, что сторона квадратного изображения $\text{H}$ должна быть равна меньшей из сторон прямоугольного экрана.

$H = L_1 = 1,5 \text{ м}$

Линейное увеличение $\Gamma$, которое дает объектив, можно найти как отношение размера изображения $\text{H}$ к размеру предмета $\text{h}$:

$\Gamma = \frac{H}{h}$

Также, линейное увеличение связано с расстоянием от предмета (диапозитива) до объектива $\text{d}$ и расстоянием от объектива до изображения (экрана) $\text{f}$:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Приравнивая оба выражения для увеличения, мы можем найти расстояние $\text{d}$ от диапозитива до объектива:

$\frac{H}{h} = \frac{f}{d} \implies d = f \cdot \frac{h}{H}$

Подставим числовые значения:

$d = 6 \text{ м} \cdot \frac{0,085 \text{ м}}{1,5 \text{ м}} = \frac{0,51}{1,5} \text{ м} = 0,34 \text{ м}$

Теперь, когда мы знаем расстояние до предмета $\text{d}$ и расстояние до изображения $\text{f}$, мы можем использовать формулу тонкой собирающей линзы для нахождения фокусного расстояния $\text{F}$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Подставим вычисленные и данные значения:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{0,34 \text{ м}} + \frac{1}{6 \text{ м}}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{F} = \frac{6 + 0,34}{0,34 \cdot 6} = \frac{6,34}{2,04} \text{ м}^{-1}$

Отсюда находим фокусное расстояние $\text{F}$:

$F = \frac{2,04}{6,34} \text{ м} \approx 0,32176... \text{ м}$

Округлим результат и выразим его в сантиметрах:

$F \approx 0,322 \text{ м} = 32,2 \text{ см}$

Ответ: Фокусное расстояние объектива должно быть примерно 32,2 см.