Номер 5, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

за курс 7 класса

1. В треугольнике $DEF$ известно, что $\angle D = 52^{\circ}$, $\angle E = 112^{\circ}$.

Укажите верное неравенство:

1) $DF < DE$; 3) $EF < DE$;

2) $DF < EF$; 4) $DE < EF$.

2. Докажите, что треугольник $KPF$ равнобедренный (рис. 282), если $KM = KE$ и $\angle MKF = \angle EKP$.

Рис. 282

3. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 56^{\circ}$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$, $\angle ADC = 104^{\circ}$. Найдите угол $ABC$.

4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $5 : 8$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.

5. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$ такую, что $AM = MK$. Докажите, что $MK \parallel AC$.

Контрольная работа № 5

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся
за курс 7 класса

В треугольнике $DEF$ известно, что $\angle D = 52^\circ$, $\angle E = 112^\circ$.

Укажите верное неравенство:

1) $DF < DE$; 3) $EF < DE$;

2) $DF < EF$; 4) $DE < EF$.

Докажите, что треугольник $KPF$ равнобедренный (рис. 282), если $KM = KE$ и $\angle MKF = \angle EKP$.

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 56^\circ$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$, $\angle ADC = 104^\circ$.

Найдите угол $ABC$.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $5 : 8$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $72$ см.

Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$ такую, что $AM = MK$. Докажите, что $MK \parallel AC$.

1. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $DEF$ мы можем найти третий угол $\angle F$:
$\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E = 180^\circ - 52^\circ - 112^\circ = 180^\circ - 164^\circ = 16^\circ$.
Теперь мы знаем все три угла треугольника: $\angle F = 16^\circ$, $\angle D = 52^\circ$, $\angle E = 112^\circ$.
Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, против большего угла лежит большая сторона. Расположим углы в порядке возрастания: $\angle F < \angle D < \angle E$.
Стороны, лежащие напротив этих углов ($DE$ напротив $\angle F$, $EF$ напротив $\angle D$, и $DF$ напротив $\angle E$), будут находиться в таком же соотношении по длине: $DE < EF < DF$.
Теперь проверим предложенные в задании неравенства:
1) $DF < DE$ — неверно, так как $DF$ — самая длинная сторона.
2) $DF < EF$ — неверно.
3) $EF < DE$ — неверно.
4) $DE < EF$ — верно.
Ответ: 4.

2. Рассмотрим $\triangle KEM$. По условию, $KM = KE$, что означает, что $\triangle KEM$ является равнобедренным с основанием $EM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle KME = \angle KEM$.
Теперь сравним треугольники $\triangle KMF$ и $\triangle KEP$. В них:
1. $KM = KE$ (по условию).
2. $\angle KMF = \angle KEP$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle KEM$).
3. $\angle MKF = \angle EKP$ (по условию).
Следовательно, $\triangle KMF \cong \triangle KEP$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в частности сторон: $KF = KP$.
Так как в треугольнике $KPF$ две стороны ($KF$ и $KP$) равны, то он является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

3.Поскольку отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, он делит этот угол на два равных угла:
$\angle BAD = \angle CAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ$.
Углы $\angle ADC$ и $\angle BDA$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $BC$. Их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle BDA$:
$\angle BDA = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$. Мы знаем два его угла: $\angle BAD = 28^\circ$ и $\angle BDA = 76^\circ$. Найдем третий угол, $\angle ABC$ (или $\angle B$):
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAD + \angle BDA) = 180^\circ - (28^\circ + 76^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.
Ответ: $76^\circ$.

4.Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $K$ и $L$ соответственно.
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем: $AM = AL$, $BM = BK$ и $CK = CL$.
По условию задачи, точка касания делит боковую сторону в отношении $5:8$, считая от вершины угла при основании. Возьмем боковую сторону $BC$ и вершину $C$ (вершина угла при основании). Таким образом, $CK : KB = 5 : 8$.
Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $CK = 5x$ и $KB = 8x$.
Длина боковой стороны $BC = CK + KB = 5x + 8x = 13x$.
Поскольку треугольник равнобедренный, $AB = BC = 13x$.
Теперь найдем длину основания $AC$. Из свойства касательных: $CL = CK = 5x$.
Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то касание окружности симметрично относительно высоты, проведенной к основанию. Поэтому отрезок $AM$ равен отрезку $CK$. $AM = 5x$.
Тогда $AL = AM = 5x$.
Длина основания $AC = AL + CL = 5x + 5x = 10x$.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = AB + BC + AC$. По условию, периметр равен 72 см.
Составим и решим уравнение:
$13x + 13x + 10x = 72$
$36x = 72$
$x = 2$
Теперь можем найти длины сторон треугольника:
Боковые стороны: $AB = BC = 13x = 13 \cdot 2 = 26$ см.
Основание: $AC = 10x = 10 \cdot 2 = 20$ см.
Ответ: 26 см, 26 см, 20 см.

5.Рассмотрим треугольник $AMK$. По условию задачи $AM = MK$. Это означает, что $\triangle AMK$ является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAK = \angle MKA$.
Из условия также известно, что $AK$ — биссектриса угла $BAC$. По определению биссектрисы, $\angle BAK = \angle CAK$.
Точка $M$ лежит на стороне $AB$, поэтому угол $\angle MAK$ — это тот же самый угол, что и $\angle BAK$. Значит, мы можем записать: $\angle MAK = \angle BAK$.
Объединив полученные равенства, имеем: $\angle MKA = \angle MAK$ и $\angle MAK = \angle CAK$. Отсюда следует, что $\angle MKA = \angle CAK$.
Углы $\angle MKA$ и $\angle CAK$ являются накрест лежащими при пересечении прямых $MK$ и $AC$ секущей $AK$.
Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Таким образом, $MK \parallel AC$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.