Номер 3, страница 102 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Параллельные прямые.

Сумма углов треугольника

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $56^\circ$. Найдите углы при основании этого треугольника.

2. Найдите градусную меру угла $\angle CMK$ (рис. 268).

3. Какова градусная мера угла $\angle A$, изображённого на рисунке 269?

Рис. 268

Рис. 269

4. В треугольнике ABC известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. На катете BC отметили точку D такую, что $\angle ADC = 60^\circ$. Найдите катет BC, если $CD = 5$ см.

5. Известно, что $AB \parallel CD$, $AM = CK$, $\angle AMB = \angle CKD$ (рис. 270). Докажите, что $BC \parallel AD$.

Рис. 270

Контрольная работа $№$ 3

Тема. Параллельные прямые.

Сумма углов треугольника

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $56^\circ$. Найдите углы при основании этого треугольника.

2. Найдите градусную меру угла $\angle CMK$ (рис. 268).

3. Какова градусная мера угла $A$, изображённого на рисунке 269?

Рис. 268

Рис. 269

4. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. На катете $BC$ отметили точку $D$ такую, что $\angle ADC = 60^\circ$. Найдите катет $BC$, если $CD = 5$ см.

5. Известно, что $AB \parallel CD$, $AM = CK$, $\angle AMB = \angle CKD$ (рис. 270). Докажите, что $BC \parallel AD$.

Рис. 270

1.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$.
Пусть данный треугольник равнобедренный, и угол при вершине равен $56°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим каждый из углов при основании через $x$.
Тогда мы можем составить уравнение:
$56° + x + x = 180°$
$56° + 2x = 180°$
$2x = 180° - 56°$
$2x = 124°$
$x = \frac{124°}{2}$
$x = 62°$
Таким образом, каждый угол при основании равен $62°$.

Ответ: углы при основании равны $62°$.

2.

Рассмотрим прямые $EK$ и $AD$ и секущую $FB$.
Углы $\angle EFB$ и $\angle FBC$ являются накрест лежащими. По условию, $\angle EFB = 56°$ и $\angle FBC = 56°$.
Так как накрест лежащие углы равны ($\angle EFB = \angle FBC$), то по признаку параллельности прямых, прямая $EK$ параллельна прямой $AD$ ($EK \parallel AD$).
Теперь рассмотрим параллельные прямые $EK$ и $AD$ и секущую $MC$.
Углы $\angle CMK$ и $\angle MCD$ являются односторонними внутренними углами. Сумма односторонних внутренних углов при параллельных прямых равна $180°$.
Следовательно, $\angle CMK + \angle MCD = 180°$.
Нам известно, что $\angle MCD = 72°$.
$\angle CMK + 72° = 180°$
$\angle CMK = 180° - 72° = 108°$.

Ответ: градусная мера угла $CMK$ равна $108°$.

3.

На рисунке 269 изображен треугольник $ADF$. Угол $A$, градусную меру которого нужно найти, является углом $\angle DAF$ этого треугольника.
Из рисунка известны два других угла этого треугольника:
$\angle ADF = 48°$
$\angle AFD = 64°$
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Поэтому, для треугольника $ADF$ имеем:
$\angle DAF + \angle ADF + \angle AFD = 180°$
$\angle A + 48° + 64° = 180°$
$\angle A + 112° = 180°$
$\angle A = 180° - 112°$
$\angle A = 68°$
(Остальные элементы на рисунке, такие как точки B, C, E и угол $15°$, являются избыточной информацией для нахождения угла A).

Ответ: градусная мера угла A равна $68°$.

4.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем $\angle C = 90°$ и $\angle ADC = 60°$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$, поэтому:
$\angle DAC = 90° - \angle ADC = 90° - 60° = 30°$.
В прямоугольном треугольнике $ADC$ катет $CD$ лежит напротив угла в $30°$. Следовательно, гипотенуза $AD$ в два раза больше катета $CD$.
$AD = 2 \times CD = 2 \times 5 = 10$ см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. В нем $\angle C = 90°$ и $\angle B = 30°$. Найдем угол $\angle BAC$:
$\angle BAC = 90° - \angle B = 90° - 30° = 60°$.
3. Найдем угол $\angle BAD$:
$\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 60° - 30° = 30°$.
4. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем два угла равны: $\angle B = 30°$ и $\angle BAD = 30°$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны:
$BD = AD = 10$ см.
5. Найдем длину катета $BC$. Точка $D$ лежит на $BC$, поэтому $BC = BD + DC$.
$BC = 10$ см + $5$ см = $15$ см.

Ответ: катет $BC$ равен $15$ см.

5.

Дано: $AB \parallel CD$, $AM = CK$, $\angle AMB = \angle CKD$. M и K лежат на отрезке AC.
Доказать: $BC \parallel AD$.
Доказательство:
1. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CDK$.
Поскольку $AB \parallel CD$, то при секущей $AC$ накрест лежащие углы равны: $\angle BAM = \angle DCK$.
По условию $AM = CK$ и $\angle AMB = \angle CKD$.
Следовательно, $\triangle ABM = \triangle CDK$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BM = DK$.
2. Углы $\angle CMB$ и $\angle AMB$ являются смежными, поэтому $\angle CMB = 180° - \angle AMB$.
Углы $\angle AKD$ и $\angle CKD$ являются смежными, поэтому $\angle AKD = 180° - \angle CKD$.
Так как по условию $\angle AMB = \angle CKD$, то и $\angle CMB = \angle AKD$.
3. Рассмотрим отрезки $CM$ и $AK$. Точки $M$ и $K$ лежат на отрезке $AC$.
$CM = AC - AM$
$AK = AC - CK$
Так как по условию $AM = CK$, то $CM = AK$.
4. Рассмотрим $\triangle CBM$ и $\triangle ADK$.
$BM = DK$ (из п. 1)
$CM = AK$ (из п. 3)
$\angle CMB = \angle AKD$ (из п. 2)
Следовательно, $\triangle CBM = \triangle ADK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников $\triangle CBM$ и $\triangle ADK$ следует равенство соответствующих углов: $\angle BCM = \angle DAK$.
Углы $\angle BCM$ (или $\angle BCA$) и $\angle DAK$ (или $\angle DAC$) являются накрест лежащими углами при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.
Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых $BC \parallel AD$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что $BC \parallel AD$.