Номер 182, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Даны окружность радиусом 2 см и принадлежащая ей точка C. Постройте точку, удалённую от точки C на 1,5 см и от центра окружности на 3 см. Сколько решений имеет задача?

182. Даны окружность радиусом 2 см и принадлежащая ей точка C. Постройте точку, удалённую от точки C на 1,5 см и от центра окружности на 3 см. Сколько решений имеет задача?

Постройте точку, удалённую от точки C на 1,5 см и от центра окружности на 3 см

Пусть O — центр исходной окружности, её радиус $R = 2$ см. Точка C принадлежит этой окружности, значит, расстояние от центра O до точки C равно радиусу: $OC = 2$ см.

Искомая точка (обозначим её X) должна удовлетворять двум условиям:
1. Быть удалённой от точки C на 1,5 см. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке C и радиусом $r_1 = 1,5$ см.
2. Быть удалённой от центра O на 3 см. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке O и радиусом $r_2 = 3$ см.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения этих двух окружностей.

Алгоритм построения:
1. Начертить окружность с центром O и радиусом $R = 2$ см.
2. Отметить на ней произвольную точку C.
3. Построить окружность с центром в точке C и радиусом $r_1 = 1,5$ см.
4. Построить окружность с центром в точке O и радиусом $r_2 = 3$ см.
5. Точки пересечения двух последних окружностей и будут искомыми точками.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения окружности с центром в C и радиусом 1,5 см и окружности с центром в O (центр исходной окружности) и радиусом 3 см.

Сколько решений имеет задача?

Количество решений задачи равно количеству точек пересечения двух вспомогательных окружностей, построенных в предыдущем пункте.
Первая вспомогательная окружность: центр в точке C, радиус $r_1 = 1,5$ см.
Вторая вспомогательная окружность: центр в точке O, радиус $r_2 = 3$ см.

Расстояние между центрами этих окружностей $d = OC = 2$ см.

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами $d$ больше модуля разности их радиусов и меньше их суммы. Проверим выполнение этого условия, которое выражается неравенством:
$|r_2 - r_1| < d < r_1 + r_2$

Подставим числовые значения:
$|3 - 1,5| < 2 < 1,5 + 3$
$1,5 < 2 < 4,5$

Неравенство является верным, так как $1,5 < 2$ и $2 < 4,5$. Это означает, что окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: Задача имеет 2 решения.