Номер 179, страница 99 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по перпендикуляру, проведённому из середины катета к гипотенузе.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по перпендикуляру, проведённому из середины катета к гипотенузе.

Пусть искомый равнобедренный прямоугольный треугольник – это $ \triangle ABC $, где $ \angle C = 90^\circ $ и $ AC = BC $. Пусть $ M $ – середина катета $ AC $, а $ MN $ – перпендикуляр, проведённый из точки $ M $ на гипотенузу $ AB $. Длина отрезка $ MN $ задана, обозначим её $ d $.

Поскольку $ \triangle ABC $ – равнобедренный прямоугольный, его острые углы равны $ 45^\circ $, то есть $ \angle A = \angle B = 45^\circ $.

Рассмотрим $ \triangle AMN $. Он является прямоугольным, так как по условию $ MN \perp AB $, следовательно, $ \angle MNA = 90^\circ $. Угол $ \angle MAN $ в этом треугольнике равен углу $ \angle A $ треугольника $ \triangle ABC $, то есть $ \angle MAN = 45^\circ $. Тогда третий угол $ \angle AMN = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Следовательно, $ \triangle AMN $ также является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $ AN = MN $. Так как длина $ MN $ задана и равна $ d $, то $ AN = d $.

Из $ \triangle AMN $ по теореме Пифагора найдём гипотенузу $ AM $: $ AM = \sqrt{AN^2 + MN^2} = \sqrt{d^2 + d^2} = \sqrt{2d^2} = d\sqrt{2} $.

Поскольку $ M $ – середина катета $ AC $, то $ AC = 2 \cdot AM = 2d\sqrt{2} $.

Этот анализ определяет последовательность построения искомого треугольника.

Пусть дан отрезок, равный по длине $ d $.

1. Провести произвольную прямую $ l $.
2. Выбрать на прямой $ l $ произвольную точку $ A $.
3. На прямой $ l $ отложить отрезок $ AN $, равный данному отрезку $ d $.
4. В точке $ N $ восстановить перпендикуляр $ m $ к прямой $ l $.
5. На перпендикуляре $ m $ отложить отрезок $ MN $, равный $ d $.
6. Провести прямую через точки $ A $ и $ M $.
7. На этой прямой от точки $ M $ отложить отрезок $ MC $, равный отрезку $ AM $, так, чтобы точка $ M $ оказалась между $ A $ и $ C $.
8. В точке $ C $ восстановить перпендикуляр $ k $ к прямой $ AC $.
9. Точка пересечения прямых $ k $ и $ l $ является третьей вершиной треугольника – точкой $ B $.
10. Соединить точки $ A, B, C $. Треугольник $ ABC $ – искомый.

По построению в $ \triangle AMN $ имеем $ \angle ANM = 90^\circ $ и $ AN = MN = d $. Значит, $ \triangle AMN $ – равнобедренный прямоугольный, и $ \angle MAN = 45^\circ $.

Точки $ A, N, B $ лежат на одной прямой $ l $, поэтому $ \angle CAB = \angle MAN = 45^\circ $.

По построению $ \angle ACB = 90^\circ $.

В $ \triangle ABC $ сумма углов равна $ 180^\circ $, поэтому $ \angle ABC = 180^\circ - \angle ACB - \angle CAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Поскольку $ \angle CAB = \angle ABC = 45^\circ $, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным, $ AC = BC $.

Следовательно, $ \triangle ABC $ – равнобедренный прямоугольный треугольник.

По построению точка $ M $ – середина катета $ AC $ ($ AM = MC $).

Отрезок $ MN $ по построению перпендикулярен прямой $ l $, на которой лежит гипотенуза $ AB $, и его длина равна $ d $.

Таким образом, построенный треугольник $ \triangle ABC $ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если заданный отрезок имеет положительную длину ($ d > 0 $).

На шаге 5 построения точку $ M $ можно выбрать по любую из двух сторон от прямой $ l $. Это приведёт к построению двух конгруэнтных треугольников, симметричных относительно прямой $ l $.

На шаге 9 для нахождения точки $ B $ необходимо, чтобы прямые $ l $ и $ k $ пересекались. Прямая $ k $ перпендикулярна $ AC $, а прямая $ l $ проходит через точку $ A $. Они будут параллельны, только если прямая $ AC $ перпендикулярна прямой $ l $. Угол между прямыми $ AC $ и $ l $ равен $ \angle MAN $. Из доказательства мы знаем, что $ \angle MAN = 45^\circ $. Так как этот угол не равен $ 90^\circ $, прямые не перпендикулярны, а значит $ l $ и $ k $ не параллельны и всегда пересекаются в единственной точке.

Следовательно, задача для любого заданного отрезка $ d > 0 $ имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности и расположения).

Ответ: Построение треугольника основано на предварительном построении вспомогательного равнобедренного прямоугольного треугольника $ \triangle AMN $, где катеты $ AN $ и $ MN $ равны длине данного перпендикуляра. Дальнейшее построение заключается в удвоении отрезка $ AM $ для нахождения катета $ AC $ и построении прямого угла при вершине $ C $ для нахождения вершины $ B $ на гипотенузе.