Номер 173, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите основание треугольника $ABC$, если периметр треугольника $CEF$ равен 16 см и $AC = BC = 12$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треуголь- ник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боко- вые стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите основание треугольника $ABC$, если периметр треугольника $CEF$ равен 16 см и $AC = BC = 12$ см.

Пусть дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC$ и $BC$. По условию, $AC = BC = 12$ см.

Проведена касательная $EF$ к этой окружности, где точка $E$ лежит на стороне $AC$, а точка $F$ — на стороне $BC$. Периметр треугольника $CEF$ равен 16 см.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника $ABC$ как $M$ на $AC$, $N$ на $BC$ и $K$ на $AB$. Пусть касательная $EF$ касается окружности в точке $L$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Применяя это свойство для точек $C, E, F, A, B$:

• Из точки $C$: $CM = CN$
• Из точки $E$: $EM = EL$
• Из точки $F$: $FN = FL$
• Из точки $A$: $AM = AK$
• Из точки $B$: $BN = BK$

Рассмотрим периметр треугольника $CEF$:
$P_{CEF} = CE + CF + EF$

Отрезок $EF$ состоит из двух частей: $EF = EL + LF$.
Используя свойство касательных из точек $E$ и $F$, мы можем заменить $EL$ на $EM$ и $LF$ на $FN$:
$EF = EM + FN$

Подставим это выражение в формулу периметра:
$P_{CEF} = CE + CF + (EM + FN) = (CE + EM) + (CF + FN)$

Заметим, что $CE + EM = CM$ и $CF + FN = CN$.
Следовательно, $P_{CEF} = CM + CN$.

Так как $CM = CN$ (касательные из точки $C$), то $P_{CEF} = 2CM$.
По условию $P_{CEF} = 16$ см, значит:
$2CM = 16$ см
$CM = 8$ см

Теперь найдем длину отрезка $AM$. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AC = AM + MC$.
$AM = AC - MC = 12$ см $- 8$ см $= 4$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC = BC$), то точки касания симметричны, и $AM = BN = 4$ см.

Основание $AB$ состоит из отрезков $AK$ и $KB$. По свойству касательных из точек $A$ и $B$:
$AK = AM = 4$ см
$BK = BN = 4$ см

Таким образом, длина основания $AB$ равна:
$AB = AK + BK = 4$ см $+ 4$ см $= 8$ см.

Ответ: 8 см.