Номер 171, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3:8$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 56 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3 : 8$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его периметр равен $56$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны равны, $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. Согласно условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $3:8$, считая от вершины угла при основании. Для стороны $AB$ и вершины $A$ это означает, что $AK : KB = 3:8$. Периметр треугольника равен $P = 56$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда отрезки на боковой стороне будут равны $AK = 3x$ и $KB = 8x$. Длина всей боковой стороны $AB$ равна их сумме: $AB = AK + KB = 3x + 8x = 11x$. Поскольку треугольник равнобедренный, вторая боковая сторона $BC$ также равна $11x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершины до точек касания равны. Таким образом: $AM = AK = 3x$ и $BL = BK = 8x$. Для вершины $C$ имеем $CM = CL$. Длину отрезка $CL$ можно найти, вычтя из стороны $BC$ отрезок $BL$: $CL = BC - BL = 11x - 8x = 3x$. Следовательно, $CM$ также равен $3x$.

Основание треугольника $AC$ состоит из двух отрезков $AM$ и $CM$. Его длина равна: $AC = AM + CM = 3x + 3x = 6x$.

Теперь, зная выражения для всех сторон через $x$, мы можем использовать данный периметр для нахождения $x$. Периметр $P = AB + BC + AC$. Подставим значения: $56 = 11x + 11x + 6x$. Упростим уравнение: $56 = 28x$. Отсюда находим $x = \frac{56}{28} = 2$.

Найдем длину основания $AC$, подставив найденное значение $x=2$: $AC = 6x = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.