Номер 168, страница 98 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Описанная и вписанная окружности треугольника. Вариант 4. Упражнения - номер 168, страница 98.

Учебник 2017.

168. Точка пересечения высот $DK$ и $FH$ треугольника $DEF$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

Учебник 2021.

168. Точка пересечения высот $DK$ и $FH$ треугольника $DEF$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

Решение.

Решение 2 (2021).

Пусть $O$ — точка пересечения высот $DK$ и $FH$ треугольника $DEF$. По определению, точка пересечения высот треугольника является его ортоцентром.

По условию задачи, эта же точка $O$ является центром вписанной в треугольник $DEF$ окружности. Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисах углов $\angle D$, $\angle E$ и $\angle F$.

Рассмотрим высоту $DK$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $DK$, а также на биссектрисе угла $\angle D$, то луч $DO$ является биссектрисой этого угла. Следовательно, высота $DK$ одновременно является и биссектрисой угла $\angle D$ треугольника $DEF$.

В треугольнике, если высота, проведённая из некоторой вершины, совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае это означает, что треугольник $DEF$ равнобедренный относительно основания $EF$, то есть $DE = DF$.

Аналогично рассмотрим высоту $FH$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $FH$ и на биссектрисе угла $\angle F$, то высота $FH$ одновременно является и биссектрисой угла $\angle F$ треугольника $DEF$.

Применяя то же свойство, получаем, что треугольник $DEF$ является равнобедренным относительно основания $DE$, то есть $DF = EF$.

Из полученных равенств $DE = DF$ и $DF = EF$ следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $DE = DF = EF$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.